2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．1．为小于9的实数时，曲线与曲线一定有相同的（ ）‎ A. 焦距 B. 准线 C. 顶点 D. 离心率 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： 的焦距为， 的焦距为，两种曲线的焦点均在轴上.所以选A.‎ ‎【考点】圆锥曲线的性质.‎ ‎2．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设所求双曲线方程为 ，所以 ，即，选D.‎ ‎3．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，‎ ‎，作差得： ，即，所以，‎ 所以直线方程为，即。故选D。‎ ‎4．已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值等于（ ）‎ A、 B、 C、或 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为双曲线的渐近线方程为，故选A ‎5．曲线在横坐标为-1的点处的切线为，则点到的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ,.由导数的几何意义可知切线的斜率为.当时, ,即切点为.所以切线方程为,即.所以点到直线的距离为.故A正确.‎ ‎【考点】导数的几何意义.‎ ‎6．已知函数在点处的切线为，若与二次函数的图象也相切，则实数的取值为（ ）‎ A. 12 B. 8 C. 0 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】，则，所以切线方程， ‎ 又，得， ，得。故选D。‎ ‎7．已知点是抛物线上一点， 为的焦点， 的中点坐标是，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】，又中点，所以，‎ 所以，得。故选D。‎ ‎8．已知函数的导函数的图象如图，则的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知，设导函数的两个零点为，‎ 则原函数在单调递减， 单调递增， 单调递减，‎ 故选D。‎ ‎9．定义在上的单调减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为在单调递减，则，所以，‎ 构造函数，则，所以在单调递增，且可知。‎ ‎，得，即，所以A错误；‎ ‎，得，即，所以C错误；‎ 由可知，‎ 所以，所以B正确，‎ 故选B。‎ ‎10．已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】构造函数，则，所以在上单调递增，‎ 又，得，‎ 则，即的解集为。故选B。‎ 点睛：本题主要考查导数与函数单调性的应用。首先要根据条件或问题进行构造函数，得到，通过题目判断出在上单调递增，又，则等价于，结合单调性，就可以得到解集。‎ ‎11．设斜率为的直线与椭圆（）交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意， ，得，即，所以，‎ 故选C。‎ 点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为，则有，整理后同除以得，求出离心率。‎ ‎12．设， 分别是双曲线（， ）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使， 为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即||2－||2＝0，所以||＝||＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2.即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又＝||，解得|PF1|＝c，|PF2|＝c，又|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a.所以＝＝＋1＝e.‎ 二、填空题 ‎13．过点且与曲线在点处的切线垂直的直线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以切线斜率，则直线斜率，‎ 所以直线方程为，即。‎ ‎14．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以，所以的范围是。‎ ‎15．已知点及抛物线上一动点，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由抛物线的定义可知， ，所以当三点共线是，值最小，‎ 最小值为。‎ 点睛：抛物线的几何性质，在抛物线中是非常重要的应用。由几何性质，我们可以将问题转化为，由图可知，当三点共线是，值最小，求出最小值即可。‎ ‎16．下列命题正确的是__________（写出正确的序号）．‎ ‎①已知， ， ，则动点的轨迹是双曲线左边一支；‎ ‎②已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则实数的值是；‎ ‎③抛物线（）的焦点坐标是.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】①由题意，动点的轨迹应该是双曲线右边一支，所以错误；‎ ‎②，所以，正确；‎ ‎③化为标准方程为，所以焦点坐标为，所以错误；‎ 所以命题正确的是②。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数在处取得极值为.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）若有极大值，求在上的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1），有，得；（2）在处取得极大值，在处取得极小值，最小值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因故由于在点处取得极值 故有即，化简得解得 ‎(2).知， 令，得， ‎ 当时， 故在上为增函数；‎ 当时， 故在上为减函数；‎ 当时， ，故在上为增函数。‎ 由此可知在处取得极大值。‎ 在处取得极小值 由题设条件知得 此时， ， ‎ 因此上的最小值为.‎ ‎18．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】(1) 解析式为;(2) 在和内是增函数，在内是减函数.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合切线的性质可得关于实数b,c 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为.‎ ‎(2)结合(1)中函数的解析式求导可得，结合导函数与原函数的单调性之间的关系可得函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由的图象经过点，知，‎ ‎∴， .‎ 由在点处的切线方程为，‎ 知，即， .‎ ‎∴即解得.‎ 故所求的解析式是.‎ ‎（2）‎ 令，得或；‎ 令，得.‎ 故的单调递增区间为和 单调递减区间为.‎ ‎19．已知， .‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）对一切， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，利用导数与单调性的关系，分类求解；（2））由已知， ，分离参数，则，构造 (x＞0) 通过研究h（x）的最值确定a的范围．‎ 试题解析：解：（1），‎ 当， ，f(x)单调递减，当， ，f(x)单调递增 ‎①，没有最小值；‎ ‎②，即时， ；‎ ‎③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增， ；‎ 所以;‎ ‎（2）由已知， ，则，‎ 设，则，‎ ‎①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，‎ ‎②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，‎ 所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，‎ 所以a≤h（x）min=4；，所以a的范围是（-∞，4].‎ ‎【考点】导数的应用 ‎20．已知抛物线： 的焦点与椭圆： （）右焦点重合，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）椭圆的方程为，离心率 ‎；（2）联立方程得到韦达定理， ， ， ， .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，抛物线的焦点为∴椭圆的右焦点的坐标为。‎ ‎∴①‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴即②‎ 由①②，解得， ‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎∴离心率 ‎（2）由（1）知∴直线的方程为，即 设， 由方程组 消整理，得，∴， ‎ ‎∴‎ 又点到直线的距离 ‎∴‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) 的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：（1），单调递减区间为；（2），令，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，则，所以的取值范围是。‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为 ‎∵‎ ‎∵，则使的的取值范围为， ‎ 故函数的单调递减区间为 ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 令，‎ ‎∵，且 由得， 得。‎ ‎∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，‎ 故在区间内恰有两个相异实根 即，解得： ‎ 综上所述， 的取值范围是 ‎22．已知长方形， ， .以的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.‎ ‎（1）求以、为焦点，且过、两点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交（1）中椭圆于、两点，是否存在直线，使得弦为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 存在过的直线： 使得以弦为直径的圆恰好过原点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）椭圆的标准方程是；（2）设直线： ，联立方程： ，得到韦达定理，以为直径的圆恰好过原点，则，所以，代入韦达定理即可解出答案。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得点， ， 的坐标分别为， ， ‎ 设椭圆的标准方程是（）‎ 则 ，∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程是 ‎（2）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为（）‎ 设， 两点的坐标分别为， ，联立方程： ‎ 消去整理得， 有， ‎ 若以为直径的圆恰好过原点，则，所以 所以，即 所以， 即 得， ‎ 所以直线的方程为，或 所以存在过的直线： 使得以弦为直径的圆恰好过原点。‎ 点睛：直线和椭圆的位置关系的题型基本思想是利用韦达定理解题，本题中关键是理解“以为直径的圆恰好过原点”这个条件，它就是为了说明垂直关系，利用数量积公式，代入韦达定理即可。‎