北京市北京交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题

北京市北京交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学试题

北京交大附中2019—2020学年度第二学期4月月考 数学 本试卷共4页，120分.考试时长90分钟.‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得： ，即焦点坐标为 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合常见函数的奇偶性以及单调性依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】对于A，，是偶函数，在不是增函数，不符合题意；对于B，，，是偶函数，在是减函数，不符合题意；‎ 对于C，，其定义域为，不是偶函数，不符合题意；‎ 对于D，，是偶函数且在上单调递增，符合题意；‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎3.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A a2=2b2 B. ‎3a2=4b‎2 ‎C. a=2b D. ‎3a=4b ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.‎ ‎【详解】椭圆的离心率,化简得,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎4.下列关于求导叙述正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则可判断各选项的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，，则，A选项错误；‎ 对于B选项，，则，B选项正确；‎ 对于C选项，，则，C选项错误；‎ 对于D选项，，则，，D选项错误 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，熟练利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.设，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数为上的减函数，则，即；‎ 指数函数为上的增函数，则；‎ 对数函数为上的增函数，则.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6.关于函数有下述三个结论：‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②函数的最大值为；‎ ‎③函数在区间上单调递减.‎ 其中，所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦型函数的周期公式可判断命题①的正误；利用正弦型函数的最值可判断命题②的正误；利用正弦函数的单调性可判断命题③的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于命题①，函数的最小正周期为，命题①正确；‎ 对于命题②，函数的最大值为，命题②错误；‎ 对于命题③，当时，，所以，函数在区间上单调递减，命题③正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型三角函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期、最值和单调性，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎7.已知、、是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎【详解】如下图所示，将平面、、视为三棱柱的三个侧面，设，将、‎ ‎、视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“”“”；‎ 另一方面，若，且，，由面面平行的性质定理可得出.‎ 所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎8.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出对于任意的恒成立，由此得出，进而可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意可知，不等式对于任意的恒成立，‎ 所以，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将存在实数，使得成立转化为有根，再根据方程变形可得，原问题转化为有根，进而转化为与的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．‎ ‎【详解】∵且，‎ ‎ 整理得 ， ‎ ‎∴原问题转化为与的图象有交点， 画出的图象如下：‎ 当时，，由图可知，． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．‎ ‎10.如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值.‎ ‎【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则点、、，设点，‎ ‎，，‎ ‎，，得，‎ 由，得，得，‎ ‎，‎ ‎，当时，取得最大值.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）.‎ ‎11.已知函数，则 ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则求得，然后代值计算可得出的值.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，考查了导数的运算法则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎12.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.‎ ‎【详解】由已知得，‎ 解得或，‎ 因为，所以.‎ 因为，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.‎ ‎13.已知函数是偶函数，且当时，，若，，，则、、的大小关系是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出、、的值，再利用对数函数的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】由于函数是偶函数，且当时，，‎ 所以，，，，‎ 因为函数为上的增函数，则，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数的大小比较，涉及对数函数的单调性与函数的奇偶性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎14.已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数的单调递减区间为和.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题.‎ ‎15.函数的图象与直线相切，则等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点坐标为，根据切线斜率为可得出切点坐标，再将切点坐标代入切线方程，即可求得实数的值.‎ ‎【详解】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率为，解得，‎ 所以，切点坐标为，‎ 将切点坐标代入切线方程得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用切线方程求参数，要注意以下两点：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为切线与函数图象的公共点.考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.函数（其中，为自然对数的底数）．‎ ‎①，使得直线为函数一条切线；‎ ‎②对，函数的导函数无零点；‎ ‎③对，函数总存在零点；‎ 则上述结论正确的是______．（写出所有正确的结论的序号）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点坐标为，根据题意得出，求得该方程组的一组解可判断命题①的正误；利用导函数的符号可判断命题②的正误；利用零点存在定理可判断③的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于①，设切点坐标为，，，‎ 由于直线为曲线的一条切线，则，‎ 所以，满足方程组，‎ 所以，，使得直线为函数的一条切线，命题①正确；‎ 对于②，当时，对任意的，，即函数无零点，命题②正确；‎ 对于③，当时，函数在上单调递增，，当时，，因此，对，函数总存在零点，命题③正确.‎ 故答案为：①②③.‎ ‎【点睛】本题考查与导数相关命题真假的判断，涉及直线与函数图象相切的问题，函数零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎17.已知函数. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（3）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）； （2）；（3）单调递增区间是，，单调递减区间是．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的运算法则可求得；‎ ‎（2）求出和，得出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；‎ ‎（3）分别解不等式和可求得函数的增区间和减区间.‎ ‎【详解】（1），；‎ ‎（2）由（1）可得，，切点坐标为，‎ 因此，曲线在点处的切线方程为，即；‎ ‎（3）解不等式，即，即，解得或；‎ 解不等式，得，即，解得.‎ 因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题导数的计算、利用导数求解函数图象的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面，为的中点，,，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）直线上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）存在点， ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取中点，结合三角形中位线和长度关系，可证得且，得到四边形为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（Ⅱ）取中点，由面面垂直性质可知平面，由此可建立空间直角坐标系；分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设，利用空间向量表示出，由线面平行可知与平面的法向量垂直，即，构造方程求得，从而得到结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）取中点，连结 为中点， ，‎ 又， 且 四边形为平行四边形 ‎ 平面,平面 平面 ‎（Ⅱ）取中点，连结，‎ 为等边三角形 ‎ 平面平面，平面平面 平面 ‎， 四边形为平行四边形 ‎ ‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎ ，‎ 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， ‎ 显然，平面的一个法向量为，‎ 所以.‎ 二面角为锐角 二面角的余弦值为 ‎ ‎（Ⅲ）直线上存在点，使得平面.理由如下：‎ 设 ，‎ ‎，‎ 平面 平面时，‎ 即，解得：‎ 直线上存在点，使得平面，此时 ‎【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角及立体几何中的存在性问题；求解本题中的存在性问题的关键是能够假设存在，利用所给的平行关系得到直线与法向量垂直，从而利用垂直关系的坐标表示构造方程求得结果.‎ ‎19.已知椭圆经过两点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将坐标代入椭圆方程可解得，进而得到结果；‎ ‎（Ⅱ）设直线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式表示出；利用垂径定理可表示出，从而将表示为关于的函数，利用基本不等式可求得最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）椭圆过点，‎ ‎，解得：‎ 椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）由题易知直线的斜率不为，可设：‎ 由得：，则 设，，则，‎ 又，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为 故圆心到直线的距离为 ‎ ，即 ‎（当且仅当，即时取等号）‎ 当时，直线与椭圆有交点，满足题意，且 的最大值为 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆 综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、最值问题的求解；解决最值问题的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，进而利用函数中的最值求解方法求得最值.‎