数学理卷·2017届甘肃省天水市一中高三下学期第三次诊断考试（2017

数学理卷·2017届甘肃省天水市一中高三下学期第三次诊断考试（2017

天水一中2014级第三次诊断考试 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取11000名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，，，则该研究所可以（ ）‎ A.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ B.有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ C.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ D.有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ ‎4.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A.“”是“”的充分不必要条件 B.“时，”的否命题为真命题 C.命题“，使得”的否定是：“，均有”.‎ D.命题“若，则”的逆否命题为真命题.‎ ‎5.“欧几里德算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就来源于“欧几里德算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的，分别为675，125，则输出的（ ）‎ A.0 B.25 C.50 D.75‎ ‎6.从装有若干个大小的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎8.已知等差数列的前项和为，满足，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）‎ A. B. C.4 D.‎ ‎10.在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为 ．‎ ‎15.已知二项式展开式中，则项的系数为 ．‎ ‎16.已知数列的前项和为，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的周长的取值范围.‎ ‎18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖。规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元.‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.‎ ‎（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所奖金（元）的分布列；‎ ‎（2）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面平面，，，，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ ‎21.已知函数，其中，为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：对任意的，.‎ ‎22.已知直线的参数方程是（是参数），以坐标原点为原点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.‎ ‎23.已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.‎ ‎（1）求整数的值；‎ ‎（2）已知，若，求的最大值.‎ 天水一中2014级第三次诊断考试数学理科答案 一、选择题 ‎1-5:BAADB 6-10:CDBBC 11、12：DC 二、填空题 ‎13.2 14. 15.240 16.420‎ 三、解答题 ‎17.（1）因为，所以，‎ 所以，所以，又因为，所以.‎ ‎（2）因为，，，‎ 所以，，所以，因为，‎ 所以.‎ 又因为，所以，所以.‎ ‎18.（1），，‎ ‎.‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金（元）的分布列为：‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金的均值，‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，‎ 抽奖所获奖金的均值，故选择方案甲较划算.‎ ‎19.证明：（1）由，，可得，‎ 由，且，可得，‎ 又，知，所以，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，、所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，得 ‎，，，.‎ 所以，，，‎ 可求得平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，得 ‎.‎ 故直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，‎ 所以，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，，‎ ‎，面积相等，，‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，‎ 和椭圆方程联立得，消掉得，‎ 显然，方程有根，且，，‎ 此时，‎ 因为，上式，（时等号成立），‎ 所以的最大值为.‎ ‎21.解：（1）当时，，，‎ ‎，‎ ‎∵当时，，∴，∴在上为减函数.‎ ‎（2）设，，，‎ 令，，则，‎ 当时，，有，‎ ‎∴在上是减函数，即在上是减函数，‎ 又∵，，‎ ‎∴存在唯一的，使得，‎ ‎∴当时，，在区间单调递增；‎ 当时，，在区间单调递减，‎ 因此在区间上，‎ ‎∵，∴，将其代入上式得：‎ ‎，‎ 令，，则，即有，，‎ ‎∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，‎ ‎∴，.‎ 即任意，，∴，因此任意，.‎ ‎22.解：（1）直线方程：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴圆心到直线的距离为，故直线与椭圆相离.‎ ‎（2）直线的参数方程化为普通方程为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.‎ ‎23.解：（1）由，得，‎ ‎∴不等式的整数解为2，∴，‎ 又不等式仅有一个整数解2，∴.‎ ‎（2）显然，‎ 由柯西不等式可知：，‎ 所以，即，‎ 当且仅当时取等号，最大值为.‎