人教版高三数学总复习课时作业14
课时作业14 导数与函数单调性
一、选择题
1．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是( )
A．(，) B．(π，2π)
C．(，) D．(2π，3π)
解析：y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.故选C.
答案：C
2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，
f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a
f(b)>f(a)．
答案：C
3．∀x1，x2∈(0，)，x2>x1，y1＝，y2＝，则( )
A．y1＝y2
B．y1>y2
C．y1y2.
答案：B
4．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．10)，
当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得1f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
解析：f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)．
答案：A
二、填空题
7．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调情况是________．
解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．
答案：单调递增
8．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f′(x)＝0的两根，∴a＝(－1)×4＝－4.
答案：－4
9．若函数f(x)＝(a>0)为R上的单调函数，则a的取值范围为________．
解析：若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)＝ex与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知00)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞
)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．
解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
记t(x)＝，当x≥1时，t(x)是增函数，
∴t(x)min＝(1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，
f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝3.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)的单调递增区间为，[3，＋∞)，f(x
)的单调递减区间为.
1．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a<1，又g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上为增函数．
答案：D
2．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是( )
A．f(2 013)>e2 013f(0)
B．f(2 013)f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上递减，∴g(2 013)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，
f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－0，
设x1，x2(x10，
所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
综上可得：
当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－
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