2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练63 坐标系与参数方程

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练63 坐标系与参数方程

课时规范练63　坐标系与参数方程 基础巩固组 ‎1.已知曲线C:x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1,直线l:x=2+t,‎y=2-2t(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ ‎2.(2017辽宁大连一模,理22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l的参数方程为x=1-‎2‎‎5‎‎5‎t,‎y=1+‎5‎‎5‎t(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;‎ ‎(2)若曲线C2的参数方程为x=2cosα,‎y=sinα(α为参数),曲线C1上点P的极角为π ‎‎4‎,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.‎ ‎〚导学号21500601〛‎ ‎3.(2017安徽马鞍山一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosαy=1+sinα(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsinθ-‎π ‎‎4‎‎=‎‎2‎.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是x=tcosα.‎y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=‎10‎,求l的斜率.‎ ‎5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcosα,‎y=tsinα(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2‎3‎cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ ‎〚导学号21500602〛‎ 综合提升组 ‎6.(2017山西临汾三模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=‎3‎sinα-cosα,‎y=3-2‎3‎sinαcosα-2cos‎2‎α(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-‎π ‎‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎m.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.‎ ‎〚导学号21500603〛‎ ‎7.(2017山西太原二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosφ,‎y=sinφ(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tan αcos θ-sin θ)=1‎ ‎α为常数,0<α<π,且α≠π ‎‎2‎‎ ‎,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.‎ ‎(1)求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.‎ ‎8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=‎3‎cosα,‎y=sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+‎π ‎‎4‎=2‎2‎.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 创新应用组 ‎9.(2017辽宁沈阳三模)已知曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=‎3‎sinθ(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换x'=‎1‎‎2‎x,‎y'=‎1‎‎3‎y得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C'的极坐标方程;‎ ‎(2)若过点A(‎3‎‎2‎,π )(极坐标)且倾斜角为π ‎‎6‎的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求‎|AP|‎‎|AM|·|AN|‎的值.‎ ‎〚导学号21500604〛‎ ‎10.(2017河北邯郸二模)在极坐标系中,已知三点O(0,0),A‎2,‎π ‎‎2‎,B‎2‎2‎,‎π ‎‎4‎.‎ ‎(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;‎ ‎(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为x=-1+acosθ,‎y=-1+asinθ(θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.‎ ‎〚导学号21500605〛‎ 参考答案 课时规范练63　坐标系与 参数方程 ‎1.解 (1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=‎5‎‎5‎|4cos θ+3sin θ-6|,‎ 则|PA|=dsin30° ‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=‎4‎‎3‎.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为‎22‎‎5‎‎5‎.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎2.解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ,‎ 可得直角坐标方程:C1:x2+y2-4x=0.‎ 直线l的参数方程为x=1-‎2‎‎5‎‎5‎t,‎y=1+‎5‎‎5‎t(t为参数),‎ 消去参数t可得普通方程:x+2y-3=0.‎ ‎(2)P‎2‎2‎,‎π ‎‎4‎,直角坐标为(2,2),Q(2cos α,sin α),M‎1+cosα,1+‎1‎‎2‎sinα,‎ ‎∴M到l的距离d=‎‎|1+cosα+2+sinα-3|‎‎5‎ ‎=‎10‎‎5‎sinα+‎π ‎‎4‎‎≤‎‎10‎‎5‎,‎ 从而最大值为‎10‎‎5‎.‎ ‎3.解 (1)由x=cosα,‎y=1+sinα‎⇒‎x=cosα,‎y-1=sinα⇒x2+(y-1)2=1,‎ 由ρsinθ-‎π ‎‎4‎‎=‎2‎⇒‎‎2‎‎2‎ρsin θ-‎2‎‎2‎ρcos θ=‎2‎⇒y-x=2,即C2:x-y+2=0.‎ ‎(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,‎ 又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,‎ 故圆心到直线的距离d=‎|0-1+2|‎‎1‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎,‎ ‎∴|AB|=2‎1‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎.‎ ‎4.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|=‎(ρ‎1‎+ρ‎2‎‎)‎‎2‎-4‎ρ‎1‎ρ‎2‎‎=‎‎144cos‎2‎α-44‎.‎ 由|AB|=‎10‎得cos2α=‎3‎‎8‎,tan α=±‎15‎‎3‎.‎ 所以l的斜率为‎15‎‎3‎或-‎15‎‎3‎.‎ ‎5.解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2‎3‎x=0.‎ 联立x‎2‎‎+y‎2‎-2y=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎-2‎3‎x=0,‎ 解得x=0,‎y=0‎或x=‎3‎‎2‎,‎y=‎3‎‎2‎.‎ 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2‎3‎cos α,α).‎ 所以|AB|=|2sin α-2‎3‎cos α|=4sinα-‎π ‎‎3‎.‎ 当α=‎5π‎6‎时,|AB|取得最大值,最大值为4.‎ ‎6.解 (1)曲线C1的参数方程为 x=‎3‎sinα-cosα,‎y=3-2‎3‎sinαcosα-2cos‎2‎α,‎ 消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2),‎ 由ρsinθ-‎π ‎‎4‎‎=‎‎2‎‎2‎m,得‎2‎‎2‎ρsin θ-‎2‎‎2‎ρcos θ=‎2‎‎2‎m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.‎ ‎(2)由y=x‎2‎,‎x-y+m=0',‎可得x2-x-m=0,‎ ‎∵曲线C1与曲线C2有公共点,‎ ‎∴m=x2-x=x-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎.‎ ‎∵-2≤x≤2,∴-‎1‎‎4‎≤m≤6.‎ ‎7.解 (1)曲线C1的参数方程为x=2cosφ,‎y=sinφ(其中φ为参数),普通方程为x‎2‎‎4‎+y2=1;‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1,直角坐标方程为xtan α-y-1=0.‎ ‎(2)C2的参数方程为x=tcosα,‎y=-1+tsinα(t为参数),‎ 代入x‎2‎‎4‎+y2=1,得‎1‎‎4‎‎ cos‎2‎α+sin‎2‎αt2-2tsin α=0,‎ ‎∴t1+t2=‎2sinα‎1‎‎4‎cos‎2‎α+sin‎2‎α,‎ ‎∴|AB|=‎2sinα‎1‎‎4‎cos‎2‎α+sin‎2‎α‎=‎‎8‎‎3sinα+‎‎1‎sinα,‎ ‎∵0<α<π,且α≠π ‎‎2‎,‎ ‎∴sin α∈(0,1),‎ ‎∴|AB|max=‎4‎‎3‎‎3‎,此时B的坐标为‎±‎4‎‎3‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎.‎ ‎8.解 (1)C1的普通方程为x‎2‎‎3‎+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(‎3‎cos α,sin α).‎ 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,‎ d(α)=‎|‎3‎cosα+sinα-4|‎‎2‎‎=‎‎2‎sinα+‎π ‎‎3‎-2‎.‎ 当且仅当α=2kπ+π ‎‎6‎(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为‎2‎,此时P的直角坐标为‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎9.解(1)C:x=2cosθ,‎y=‎3‎sinθ‎⇒x‎2‎‎4‎+‎y‎2‎‎3‎=1,‎x'=‎1‎‎2‎x,‎y'=‎1‎‎3‎y‎⇒‎x=2x',‎y=‎3‎y‎'‎,‎ 代入C的普通方程可得x'2+y'2=1,‎ 因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':ρ=1.‎ ‎(2)点A‎3‎‎2‎‎,π ‎的直角坐标是A‎3‎‎2‎‎,0‎,‎ 将l的参数方程x=-2+tcos π ‎‎6‎,‎y=tsin ‎π ‎‎6‎ 代入x2+y2=1,‎ 可得4t2-6‎3‎t+5=0,∴t1+t2=‎3‎‎3‎‎2‎,t1·t2=‎5‎‎4‎,‎ ‎|AP|‎‎|AM|·|AN|‎‎=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎‎|t‎1‎t‎2‎|‎=‎‎3‎‎3‎‎5‎‎.‎ ‎10.解(1)将O,A,B三点化成直角坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).‎ ‎∴圆C1的圆心为(1,1),半径为‎2‎,‎ ‎∴圆C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,‎ 将x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入普通方程得ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ=0,‎ ‎∴ρ=2‎2‎sinθ+‎π ‎‎4‎.‎ ‎(2)∵圆C2的参数方程为x=-1+acosθ,‎y=-1+asinθ(θ是参数),‎ ‎∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(-1,-1),半径为|a|.‎ ‎∵圆C1与圆C2外切,‎ ‎∴2‎2‎‎=‎‎2‎+|a|,解得a=±‎2‎.‎