人教版高三数学总复习课时作业58

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人教版高三数学总复习课时作业58

课时作业58 双曲线 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:因为双曲线的焦距为10,所以c=5.‎ 又因为P(2,1)在渐近线上,且渐近线方程为y=x,‎ 所以1=,即a=2b.‎ 又因为c2=a2+b2=5b2=25,所以b2=5,a2=20.‎ 即双曲线方程为-=1.‎ 答案:A ‎2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=(  )‎ A.2 B. C. D.1‎ 解析:由题知=2,解得a=1.‎ 答案:D ‎3.(2014·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:渐近线平行于l,则=2,又焦点为(-5,0),则c=5,可得c2=a2+b2=5a2=25,得a2=5,b2=4a2=20,选A.‎ 答案:A ‎4.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长),则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:不妨取双曲线的右焦点(c,0),双曲线的渐近线为y=±x,即bx±ay=0.则焦点到渐近线的距离为=c,即b=c,从而b2=c2=c2-a2,所以c2=a2,即e2=,所以离心率e=.‎ 答案:A ‎5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )‎ A.    B.3 C.m    D.3m 解析:由题意,可得双曲线C为-=1,则双曲线的半焦距c=.不妨取右焦点(,0),其渐近线方程为y=± x,即x±y=0.所以由点到直线的距离公式得d==.故选A.‎ 答案:A ‎6.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,) B.(1,]‎ C.(,+∞) D.[,+∞)‎ 解析:∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 则由题意得>2.‎ ‎∴e==>=.‎ 答案:C 二、填空题 ‎7.(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.‎ 解析:双曲线-x2=1的渐近线为y=±2x,故C的渐近线为y ‎=±2x,设C:-x2=m,并将点(2,2)代入C的方程,解得m=-3,故C的方程为-x2=-3,即-=1.‎ 答案:-=1 y=±2x ‎8.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.‎ 解析:不妨设点P在双曲线的右支上且F1,F2分别为左、右焦点,因为PF1⊥PF2,所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,‎ 又因为|PF1|-|PF2|=2,‎ 所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,‎ 则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.‎ 答案:2 ‎9.(2014·浙江卷)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.‎ 解析:由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x和y=-x,分别与x-3y+m=0联立,解得A,B,由|PA|=|PB|得,AB中点Q的坐标为Q,由PQ与已知直线垂直,解得2a2=8b2‎ ‎=8(c2-a2),即=,故e==.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.‎ ‎(1)求双曲线的离心率.‎ ‎(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ 解:(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,‎ 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,‎ 得d=m,tan∠AOF=,‎ tan∠AOB=tan2∠AOF==,‎ 由倍角公式,得=,解得=,‎ 则离心率e=.‎ ‎(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有x2-x+21=0,‎ ‎4=|x1-x2|‎ ‎=,‎ 将数值代入,有4=,‎ 解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.‎ ‎11.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.‎ 解:(1)由题意知a=2,∴一条渐近线为y=x.‎ 即bx-2y=0.∴=.‎ ‎∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),‎ 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,‎ 是x1+x2=16,y1+y2=12.‎ ‎∴∴ ‎∴t=4,点D的坐标为(4,3).‎ ‎1.已知双曲线-=1(b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上.则·=(  )‎ A.-12 B.-2‎ C.0 D.4‎ 解析:由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线,不妨设双曲线方程是x2-y2=2,于是F1,F2坐标分别是(-2,0)和(2,0),且P(,1)或P(,-1).由双曲线的对称性,不妨取P(,1),则=(-2-,-1),=(2-,-1).所以·=(-2-,-1)·(2-,-1)=-(2+)·(2-)+1=0.‎ 答案:C ‎2.已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,2) B.(,2)‎ C.(,2) D.(2,3)‎ 解析:由题意知,△ABE为等腰三角形.若△ABE是锐角三角形,则只需要∠AEB为锐角.根据对称性,只要∠AEF<即可.直线AB 的方程为x=-c,代入双曲线方程得y2=,取点A,则|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<,即1,故10,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),且||=||,则该双曲线的离心率为________.‎ 解析:∵(+)·=0,∴OB⊥PF2,且B为PF2的中点.又O是F1F2的中点,∴OB∥PF1,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|-|PF2|=2a,又∵||=||,∴|PF2|=(+1)a,|PF1|=(+3)a,∴由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,得(12+6)a2+(4+2)a2=4c2,∴e2=4+2,∴e=+1.‎ 答案:+1‎ ‎4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(1)求a、b;‎ ‎(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎ 解:(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.‎ 所以C的方程为8x2-y2=8a2.‎ 将y=2代入上式,并求得x=± .‎ 由题设知,2 =,解得a2=1.‎ 所以a=1,b=2.‎ ‎(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8. ①‎ 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|<2,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1·x2=.‎ 于是|AF1|== ‎=-(3x1+1),‎ ‎|BF1|== ‎=3x2+1.‎ 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,‎ 即x1+x2=-.‎ 故=-,解得k2=,从而x1·x2=-.‎ 由于|AF2|===1-3x1,|BF2|===3x2-1.‎ 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,‎ ‎|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.‎ 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎
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