2019学年高二数学下学期期中试题 文 新人教版

2019学年高二数学下学期期中试题 文 新人教版

‎2019学年度第二学期期中考试 高二数学试卷（文）‎ 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时 间 120 分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；‎ ‎‎ ‎,,‎ ‎5, 用反证法证明“如果 a>b，那么 3 a ＞ 3 b ”假设的内容应是 （ ）‎ A. 3 a = 3 b B. 3 a ＜ 3 b C. 3 a = 3 b 且 3 a ＜ 3 b D. 3 a = 3 b 或 3 a ＜ 3 b 10‎ ‎（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；‎ ‎6, 已知点 P（1， −‎ ‎3 ），则它的极坐标是（ ）‎ 10‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 ‎ð A． (2, )‎ ‎3‎ ‎‎ B． (2,‎ ‎4ð )‎ ‎3‎ ‎‎ C. (2,‎ ‎5ð )‎ ‎3‎ ‎‎ D． (2,‎ ‎2ð )‎ ‎3‎ 10‎ 一个是符合题目要求的 ‎7,若复数 z 满足（3﹣4i）z=|4+3i|， 则 z 的虚部为（ ）‎ 10‎ ‎1,复数 2 + i 的共轭复数是( )‎ ‎3 i B．‎ ‎3‎  ‎1‎ ‎5‎ ‎5‎ i C． −i D． i  x = 1 + ‎8,直线  ‎2‎ ‎1 − 2i A． −‎ ‎‎ A． − 4 i ‎5‎ t  ‎‎ B． − 4‎ ‎5‎ ‎‎ ‎4 4‎ C． D． i ‎5 5‎ 10‎ ‎2,指数函数 y = a x 是增函数，而 y = ( 1 )x 是指数函数，所以 y = ( 1 )x 是增函数，关于上面 ‎‎  y = −3 3 + ‎(t为参数) 和圆 x2 + y 2 = 16 交于 A, B 两点，则 AB 的中 ‎3 t 10‎ ‎2 2  2‎ 10‎ 推理正确的说法是( )‎ ‎点坐标为 （ ）‎ 10‎ 10‎ A.推理的形式错误 B.大前提是错误的 C.小前提是错误的 D.结论是正确的 ‎A． (3, −3)‎ ‎B． (−‎ ‎3, 3)‎ ‎C． ( 3, −3)‎ ‎D． (3, − 3)‎ 10‎ 10‎ x ‎－1‎ ‎－2‎ ‎－3‎ ‎－4‎ ‎－5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ y ‎－0.9‎ ‎－2‎ ‎－3.1‎ ‎－3.9‎ ‎－5.1‎ ‎5‎ ‎4.1‎ ‎2.9‎ ‎2.1‎ ‎0.9‎ ‎3,.观测两个相关变量，得到如下数据：‎ 则两变量之间的线性回归方程为 ( )‎ ‎9.下列说法中正确的是( )‎ ‎①相关系数 r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；‎ ‎②回归直线 y = bx + a 一定经过样本点的中心 ( x , y ) ；‎ ‎③随机误差 e 的方差 D (e) 的大小是用来衡量预报的精确度；‎ 10‎ ‎^ ^ ^ ^‎ 10‎ A．y＝0.5x－1 B．y＝x C．y＝2x＋0.3 D．y＝x＋1‎ ‎‎ ‎④相关指数 R2 用来刻画回归的效果，‎ ‎‎ R2 越小，说明模型的拟合效果越好．‎ 10‎ ‎4,下列在曲 7.若 P = ‎a + a + 5 ，Q = ‎a + 2 + ‎a + 3 (a ≥ 0) ，则 ‎P, Q 的大小关系是（ ）‎ ‎‎ A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③‎ 10‎ A. P > Q ‎B. P=Q C. P < Q ‎D.由 a 的取值确定 10‎ 10‎ ‎10,若点 P 对应的复数 z 满足|z|≤1，则 P 的轨迹是( )‎ A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆内 ‎11,在极坐标系中， A 为直线 3ñ cosè + 4ñ sin è + 13 = 0 上的动点， B 为曲线 ñ + 2 cosè = 0‎ ‎18（本小题满分 12 分）．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为 此作了 4 次试验，得到数据如下：‎ 10‎ 零件的个数 x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间 y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 上的动点，则 AB 的最小值为 （ ）‎ 10‎ ‎11‎ A． 1 B． 2 C.‎ ‎‎ D．3‎ ‎‎ ‎^ ^ ^‎ 10‎ ‎5‎ ‎12,观察数组：（—1，1，—1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40）---------‎ ‎(1)求 y 关于 x 的线性回归方程 y ‎(2)求各样本点的残差；‎ ‎＝b x＋a ；‎ 10‎ ‎（ an，bn，cn ）则 cn 的值不可能是（ ）‎ A． 112， B,278 C,704 D.1664‎ ‎(3)试预测加工 10 个零件需要的时间．‎ ‎‎ n ‎ ‎∑ xi yi − nx y ‎ 10‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．(共 20 分)‎ ‎参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ‎bˆ = ‎i =1‎ n ‎ ‎2 2‎ ‎，aˆ = y − bˆ x ‎ 10‎ ‎13.．若复数 z = (a2 − 2a) + (a2 − a − 2)i 为纯虚数，则实数 a 的值等于 ．‎ ‎∑ xi i =1‎ ‎− nx ‎ 10‎  a1 + a2 + L + an  *‎ 10‎ ‎14.若数列{an }是等差数列，则数列   n ‎(n ∈ N  ‎) 也是等差数列；类比上述 10‎ 性质,相应地，{bn }是正项等比数列，则也是等比数列 ‎19.（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立 10‎  x = ‎15 将参数方程  ‎t + 1‎ ‎‎ ‎（ t 为参数）化为普通方程是 ‎ ‎‎ 极坐标系．圆 C 、直线 C 的极坐标方程分别为 ñ = 4 sin è ， ñ cos(è − ð ) ＝ 2 2 ．‎ 10‎  y = 1 − 2 t ‎1 2 4‎ 10‎ ‎2‎ = 2‎ ‎2‎ ‎，‎ ‎3 + 3‎ = 3‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎4 + 4‎ = 4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎15‎ ‎16 .已知 2 + ‎‎ ‎，.，类比这些等式，‎ ‎（1）求 C1 与 C2 交点的极坐标；‎ ‎（2）设 P 为 C1 的圆心， Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点．已知直线 PQ 的参数方程 10‎ 若 7 + a = 7‎ ‎a ‎（ a, b 均为正整数），则 a + b = ‎ 10‎ b b  x = t 3 + a  10‎ 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17（本小题 10 分）,已知复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点分别为 A(−2,1) ，B(a,3) ，（ a ∈ R ）．‎ ‎为   y =  ‎b t 3 + 1‎ ‎2‎ ‎‎ 10‎ ‎（ t 为参数且 t ∈ R ），求 a, b 的值．‎ 10‎ 10‎ ‎（Ⅰ）若 z1 + z 2‎ ‎≤ 5 ，求 a 的值；‎ 10‎ ‎（Ⅱ）若复数z1 ·z2 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值．‎ 10‎ 10‎ ‎20（本小题 12 分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司 200 名员工中 ‎ ‎21. （本小题满分 12 分）.已知曲线 C1 参数方程为  ‎x = 4t ‎‎ ‎（ t 为参数），当 t = 0 时，‎ 10‎ ‎90% 的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余每天 使用微信在一小时以上。若 将员工年龄分成青年（年龄小于 40 岁）和中年（年龄 不小于 40 岁）两个阶段，使用微信的人中 75% 是青年人。若规定：每天使用微信 ‎ y = 3t −1‎ 曲线 C1 上对应的点为 P .以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ ‎8 cosè 10‎ ‎2‎ 时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中 ‎‎ 是青年人.‎ ‎曲线 C2 的极坐标方程为 ñ = ‎．‎ ‎1 − cos 2è 10‎ ‎3 （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；‎ ‎1 2‎ ‎（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出 2 × 2 列联表；‎ 青年人 中年人 合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 ‎（2）设曲线 C1 与 C2 的公共点为 A、B ，求 PA g PB 的值.‎ ‎22.（本小题 12 分）等差数列{an }的前 n 项和为Sn ，a3 =5+√2 S3 =9+3√2‎ ‎（1）求an 以及Sn n n ‎（2）设b =S n ，证明数列{b }中不存在不同的三项成等比数列 n ‎（2）由列联表中所得数据，是否有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”‎ ‎（3）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，从这 6 人中任选 2 人， 求事件 A “选出的 2 人均是青年人”的概率 ‎2‎ ‎. K 2 = n(ad − bc) (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ P(K 2 ≥ k )‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎6.635‎ ‎10.828‎ 10‎ 10‎ 文科参考答案 ‎15） 2x-+y-3=0(x≥1) 因为� x = √t + 1‎ y = 1 − 2√t ‎消去 t 解得 2x+y-3=0 又 t≥0 所以 x≥1‎ 10‎ 一、选择题 ‎1） C 由 Z= 2+i =5i=i 所以z为-i ‎1−2i 5‎ ‎2） B 由 y=ax 是单调递增的指数函数错误 ‎3） B x=0 y=0 有回归直线过（0,0）‎ ‎4） C 由p2 =2a+5+2√a2 + 5a Q2 =2a+5+2√a2 + 5a + 6 因为 a≥0‎ 所以 2a+5+2√a2 + 5a + 6＞2a+5+2√a2 + 5a ‎5) D ‎6) C 由ρ2 =4 所以ρ=2 又tan θ=-√3 所以 P（1，-√3）在第四象限 ‎16) 55 因为 a=7 b=72 -1=48 所以 a+b=5‎ 三、解答题 ‎17.解：1)由题意可知z1 =-2+i -------（1）分 z2 =a+3i-------（2）分 ‎∴z1 +z2 =(a-2)+4i-----------（3）分 ‎2‎ ‎∴｜z1 + z2 ｜ =(a − 2)2 +16------（4）分 ‎∴(a − 2)2 +16≤25 即(a-5)(a+1)≤0------（5）分 ‎∴-1≤a≤5-----------------------（6）分 10‎ ‎7） B 由（3-4i)·Z=｜4+3i｜所以 Z= 5‎ ‎=3+4i = 3 + 4i ‎所以z= 3 − 4i ‎2)由z1 =-2-i-------------------------（7）分 10‎ x = 1 + 1 t ‎8） D 由� 2‎ ‎3−4i 5 5 5 5 5‎ ‎ 消去 t 得 y=√3x − 4√3 带入x2 + y2 =16 消去 y 得 ‎∴z1 ·z2 =(-2-i)(a+3i)=(3-2a)-(a+6)i-------------------（8）分 由 z=z1 ·z2 对应的点在二、四象限的角分线上可知(3-2a)-(a+6)=0------（9）分 10‎ y = −3√3 + √3 t ‎2‎ ‎4x2 -24x+32=0 设 A（x1 ，y1 ）, B（x2 ，y2 ）因为x1 +x2 =6 y1 +y2 =√3(x1 +x2 )-8√3=-2√3‎ 所以 A、B 中点为（3,-√3）‎ ‎9） D ①｜r｜越接近 1，相关性越强 所以①错 ‎②真 ③真 ④R2 越小，拟合效果越不好 ‎∴a=-1---------------------------------------（10）分 ‎18.（12 分）解：‎ 10‎ ‎2＋3＋4＋5‎ ‎2.5＋3＋4＋4.5‎ 10‎ ‎10）D 设 Z=x+yi 由｜Z｜≤1 所以x2 +y2 ≤1‎ ‎11) A 直线 l 的普通方程为 3x+4y+13=0 B 的普通方程为(x + 1)2 +y2 =1‎ ‎(1) x ＝ 4‎ ‎4‎ ‎＝3.5-------- （1）分 y ＝ 4‎ ‎＝3.5--------（2）分 10‎ 设(-1,0)到 l 的距离为 d 所以 d=2 所以最小值为 2-1=1‎ ‎12) B 由{an }为等差数列 所以an =2n-3‎ ‎{bn }为等比数列 所以bn =2n −1‎ 又Cn =an · bn 所以Cn =(2n-3)·2n −1‎ 二、填空 ‎∑ xi yi ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5，-----------------------------------------------（3）分 i＝1‎ ‎4‎ i ‎∑ x2＝4＋9＋16＋25＝54，--------------------------------------------------（4）分 i＝1‎ 10‎ ‎^ 52.5－4×3.5×3.5 ^‎ 10‎ ‎13） 0 解释; 因为� a2 − 2a = 0‎ a2 − a − 2 ≠ 0‎ ‎所以 a=0‎ ‎∴b ＝‎ ‎54－4×3.52 ＝0.7----------（5）分，a ‎＝3.5－0.7×3.5＝1.05，---（6）分 10‎ ‎14） n√a 1 a 2 …a n 10‎ 10‎ ‎^‎ ‎∴所求线性回归方程为 y ‎‎ ‎＝0.7x＋1.05.--------------------------------（7）分 ‎‎ ‎20．解:（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的共： 200 × 0.9 = 180 人--（1）分 经常使用微信的有180 − 60 = 120 人，其中青年人：120 × 2 = 80 人 -------（2）分 10‎ ‎（2）0.05 ---0.15 0.15 ---0.05---------------------------------------（9）分 ‎3‎ 所以可列下面 2 × 2 列联表：‎ 10‎ ‎^‎ ‎（3）当 x＝10 时，y ‎‎ 青年人 中年人 合计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 合计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎＝0.7×10＋1.05＝8.05，-----------------------（11）分 10‎ ‎∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时．--------------------------------（12）分 10‎ ‎19.解：（1）圆 C1 的直角坐标方程为 x ‎2 + ( y − 2)2‎ ‎= 4 .-------------（1）分 10‎ 10‎ 直线 C2 的直角坐标方程为 x + y − 4 = 0 -----------------------（2）分 ‎------------------------------------------------------------------------------------------------------（4）分 ‎（2）将列联表中数据代入公式可得：‎ 10‎  x2 + ( y − 2)2 = 4‎ ‎.解  ‎‎  x1‎ 得  ‎‎ = 0  x2‎ ‎，  ‎‎ = 2‎ ‎.-------------------（4）分 ‎‎ ‎2‎ K 2 = 180 × (80 × 5 − 55 × 40 ) ‎120 × 60 ×135 × 45‎ ‎‎ ‎≈ 13.333‎ ‎‎ ‎……（7）分 10‎  x + y − 4 = 0‎ ‎ y1 = 4‎ ‎ y2 = 2‎ ð ð ‎‎ 由于13.333 > 10.828 ,所以有 99.9% 的把握认为“经常使用微信与年龄有关”。------（8）分 ‎80‎ ‎（3）从“经常使用微信”的人中抽取 6 人中，青年人有 × 6 = 4 人，中年人有 2 人 10‎ 所以 C1 与 C2 的交点极坐标为 (4, ),‎ ‎2‎ ‎(2 2 , ) .-------------（6）分 ‎4‎ ‎120‎ 设 4 名青年人编号分别 1,2,3,4，2 名中年人编号分别为 5,6，‎ 10‎ 10‎ ‎（2）由（1）可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为 (0, 2), (1, 3) .----（7）分 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x − y + 2 = 0 .--------------------------（8）分 由参数方程可得 y = b x − ab + 1.----------------------------------------（10）分 ‎2 2‎ ‎‎ 10‎ 则“从这 6 人中任选 2 人”的基本事件为：‎ ‎（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）‎ ‎（3,6）（4,5）（4,6）（5,6）共 15 个 ------------------------------------------------（10）分 其中事件 A“选出的 2 人均是青年人”的基本事件为：（1,2）（1,3）（1,4）（2,3）‎ ‎（2,4）（3,4）共 6 个。故 P( A) = 2 ．-----------------------------------------------------（12）分 ‎5‎ 10‎  b = 1‎ ‎‎  ‎21.解 （1）因为曲线 C 的参数方程为 ‎‎ x = 4t ‎‎ ‎（ t 为参数），‎ 10‎  所以  2‎ − ab + 1 = 2‎ ‎解得 a = −1, b = 2 .------------------------------------（‎ ‎12）分 ‎1   y = 3t −1‎ 10‎  2‎ ‎所以曲线 C1 的普通方程为 3x − 4 y − 4 = 0 ，----------------------------（2）分 10‎ 10‎ 又曲线 C2 的极坐标方程为 ñ = ‎8 cosè ‎，‎ ‎1 − cos 2è ‎2‎ ‎所以(m2 -np)+ √2[2m-(n+p)]=0----------------------------------------（7）分 因为 m、n、p 是正整数， 所以m2 -np 和 2m-(n+p)均为有理数 所以m2 -np=0 ， 2m-(n+p)=0------------------------------------------------ （9）分 10‎ 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y ‎= 4x ；--------------------------------（4）分 ‎所以(n + p)2 =4np ， 所以(n − p)2 =0 所以 n=p 与 n≠p 矛盾------（11）分 10‎ ‎（2）当 t = 0 时， x = 0, y = −1 ，所以点 P (0, −1) ，------------------（5）分 ‎所以数列{bn }中不存在不同的三项成等比数列-----------------------------（12）分 10‎ ‎3‎ 由（1）知曲线 C1 是经过点 P 的直线，设它的倾斜角为á ，则 tan á = ，‎ ‎4‎ 10‎ 所以 sin á = ‎3 , cos á = 4 ，---------------------------------------------------（7）分 ‎5 5‎ 10‎ 10‎  ‎1  所以曲线 C 的参数方程为  ‎x = 4 T ‎5‎ ‎3‎ ‎‎ ‎（T 为参数），‎ 10‎  y = −1 + T  5‎ 将上式代入 y 2 = 4x ，得 9T 2 − 110T + 25 = 0 ，---------------------（10）分 10‎ 所以 PA g PB = T1T2‎ ‎= 25‎ ‎9‎ ‎‎ 分 ‎----------------------------------------（12）‎ 10‎ ‎22 解：（1）设{an }的首项为a1‎ 由已知得 5+√2=a1 +2d ‎9+3√2=3a1 +3d 求得a1 =√2+1 d=2---------（2）分 n =‎ 解：所以an =2n+√2-1 Sn =n2 +√2n------------------------------（4）分 ‎（2)由b S n =n+√2-----------------------------------------------------（5）分 n 假设bn 中存在不同的三项能构成等比数列，即an 、am 、ap 成等比数列 所以am 2 =an . ap 10‎ ‎2‎ 即(m + �2) =(n + �2). (p + �2)‎ 10‎