数学卷·2018届河南省焦作市高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届河南省焦作市高二上学期期末数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣9=0}，则下列式子表示正确的有（　　）‎ ‎①3∈A；②{﹣3}∈A；③∅⊆A；④|3，﹣3|⊆A．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎2．命题p：∀x，y∈R，x2+y2≥0，则命题p的否定为（　　）‎ A．∀x，y∈R，x2+y2＜0 B．∀x，y∈R，x2+y2≤0‎ C．∃x0，y0∈R，x02+y02≤0 D．∃x0，y0∈R，x02+y02＜0‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）‎ ‎4．已知函数f（x）在[﹣3，4]上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如表：‎ x ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎6‎ m ‎﹣4‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎﹣4‎ n ‎6‎ 则函数f（x）的零点所在区间有（　　）‎ A．（﹣3，﹣1）和（﹣1，1） B．（﹣3，﹣1）和（2，4） C．（﹣1，1）和（1，2） D．（﹣∞，﹣3）和（4，+∞）‎ ‎5．过点A（3，）与圆O：x2+y2=4相切的两条直线的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题p：已知函数f（x）的定义域为R，若f（x）是奇函数，则f（0）=0，则它的原命题，逆命题、否命题、逆命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知数列{an}满足an=an﹣1+an﹣2（n＞2），且a2015=1，a2017=﹣1，则a2000=（　　）‎ A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣18‎ ‎8．已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．[1，+∞）‎ ‎9．下列函数是偶函数的是（　　）‎ ‎①f（x）=lg|x|；②f（x）=ex+e﹣x；③f（x）=x2（x∈N）；④f（x）=x﹣．‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①④‎ ‎10．已知x、y满足不等式组，若直线x﹣y﹣a=0平分不等式组所表示的平面区域的面积，则a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．1﹣2 D．1﹣‎ ‎11．已知a，b是两个正实数．且•=（）b，则ab有（　　）‎ A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最大值2‎ ‎12．函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为　　．‎ ‎14．已知两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为　　平方里．‎ ‎16．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有共同的左右焦点F1，F2，两曲线的离心率之积e1•e2=1，D是两曲线在第一象限的交点，则F1D：F2D=　　（用a，b表示）‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。共6小题，满分70分）‎ ‎17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAC=45°，∠ADC=60°，DC=，AB=3．‎ ‎（1）求AC的长；‎ ‎（2）求∠ABC的大小．‎ ‎18．已知函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）证明：不等式lnx≤x﹣1恒成立．‎ ‎19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a22=37，S22=352．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，点D是椭圆C上一动点当△DF1F2的面积取得最大值1时，△DF1F2为直角三角形．‎ ‎（1）椭圆C的方程．‎ ‎（2）已知点P是椭圆C上的一点，则过点P（x0，y0）的切线的方程为+=1．过直线l：x=2上的任意点M引椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点．‎ ‎21．已知点H（﹣1，0），动点P是y轴上除原点外的一点，动点M满足PH⊥PM，且PM与x轴交于点Q，Q是PM的中点．‎ ‎（1）求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知直线l1：x=my+与曲线E交于A，C两点，直线l2与l1关于x轴对称，且交曲线E于B，D两点，试用m表示四边形ABCD的面积．‎ ‎22．已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x﹣1．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）已知g（x）=﹣3x+1，若f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省焦作市高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣9=0}，则下列式子表示正确的有（　　）‎ ‎①3∈A；②{﹣3}∈A；③∅⊆A；④|3，﹣3|⊆A．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得集合A={﹣3，3}，依次分析4个式子：对于①由元素与集合的关系可得正确；②符号使用错误；③由空集的性质可得其正确；④|由于任何集合都是其本身的子集，可得其正确；综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，集合A={x|x2﹣9=0}={﹣3，3}，依次分析4个式子：‎ 对于①3∈A、3是集合A的元素，正确；‎ ‎②{3}∈A、{3}是集合，有{3}⊆A，错误；‎ ‎③∅⊆A、空集是任何集合的子集，正确；‎ ‎④|3，﹣3|⊆A、任何集合都是其本身的子集，正确；‎ 共有3个正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．命题p：∀x，y∈R，x2+y2≥0，则命题p的否定为（　　）‎ A．∀x，y∈R，x2+y2＜0 B．∀x，y∈R，x2+y2≤0‎ C．∃x0，y0∈R，x02+y02≤0 D．∃x0，y0∈R，x02+y02＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】“全称命题”的否定是“特称命题”．根据全称命题的否定写出即可．‎ ‎【解答】解：命题p：∀x，y∈R，x2+y2≥0是全称命题，其否定是：∃x0，y0∈R，x02+y02＜0．‎ 故选：D ‎　‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞] D．（﹣∞，1]∪[3，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式﹣x2+2x+3≥0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ ‎∴﹣x2+2x+3≥0，‎ 即x2﹣2x﹣3≤0，‎ 解得﹣1≤x≤3，‎ ‎∴f（x）的定义域为[﹣1，3]．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）在[﹣3，4]上的图象是一条连续的曲线，且其部分对应值如表：‎ x ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎6‎ m ‎﹣4‎ ‎﹣6‎ ‎﹣6‎ ‎﹣4‎ n ‎6‎ 则函数f（x）的零点所在区间有（　　）‎ A．（﹣3，﹣1）和（﹣1，1） B．（﹣3，﹣1）和（2，4） C．（﹣1，1）和（1，2） D．（﹣∞，﹣3）和（4，+∞）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．‎ ‎【解答】解：依题意，∵f（﹣3）＞0，f（﹣1）＜0，f（4）＞0，f（2）＜0，‎ ‎∴根据根的存在性定理可知，在区间（﹣3，﹣1）和（2，4）含有一个零点，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．过点A（3，）与圆O：x2+y2=4相切的两条直线的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】利用|OA|==4，r=2，结合三角函数，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设过点A（3，）与圆O：x2+y2=4相切的两条直线的夹角为2α，则 ‎∵|OA|==4，r=2，‎ ‎∴sinα=，，‎ ‎∴2α=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知命题p：已知函数f（x）的定义域为R，若f（x）是奇函数，则f（0）=0，则它的原命题，逆命题、否命题、逆命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】由奇函数的定义判断原命题是正确的，则原命题的逆否命题就是正确的，再判断原命题的逆命题的真假即可得答案．‎ ‎【解答】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，‎ 则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；故原命题正确；‎ 而由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，‎ 显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数；故逆命题不正确；‎ ‎∵逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题具有相同的真假性，故否命题不正确；‎ ‎∵原命题与它的逆否命题具有相同的真假，故逆否命题正确．‎ ‎∴真命题的个数为：2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}满足an=an﹣1+an﹣2（n＞2），且a2015=1，a2017=﹣1，则a2000=（　　）‎ A．0 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣18‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由数列{an}满足an=an﹣1+an﹣2（n＞2），且a2015=1，a2017=﹣1，利用递推思想依次求出a2016，a2014，a2013，a2012，a2011，a2010．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足an=an﹣1+an﹣2（n＞2），‎ ‎∴an﹣1=an﹣an﹣2，‎ ‎∵a2015=1，a2017=﹣1，‎ ‎∴a2016=a2017﹣a2015=（﹣1）﹣1=﹣2，‎ a2015=a2016﹣a2014，即1=﹣2﹣a2014，解得a2014=﹣3，‎ a2014=a2015﹣a2013，即﹣3=1﹣a2013，解得a2013=4，‎ a2013=a2014﹣a2012，即4=﹣3﹣a2012，解得a2012=﹣7，‎ a2012=a2013﹣a2011，即﹣7=4﹣a2011，解得a2011=11，‎ a2011=a2012﹣a2010，即11=﹣7﹣a2010，解得a2010=﹣18．‎ ‎∴a2000=﹣18．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[3，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．[1，+∞）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴q⇒p成立，但p⇒q不成立，‎ 即a+2≤﹣1，‎ 即a≤﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．下列函数是偶函数的是（　　）‎ ‎①f（x）=lg|x|；②f（x）=ex+e﹣x；③f（x）=x2（x∈N）；④f（x）=x﹣．‎ A．①② B．①③ C．②④ D．①④‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用偶函数的定义，分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|=f（x），所以函数是偶函数；‎ ‎②f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），所以函数是偶函数；‎ ‎③f（x）=x2（x∈N）定义域不关于原点对称，不是偶函数；‎ ‎④f（x）=x﹣=x﹣|x|，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．已知x、y满足不等式组，若直线x﹣y﹣a=0平分不等式组所表示的平面区域的面积，则a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．1﹣2 D．1﹣‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】求出可行域的面积，利用点到直线的距离公式转化求解即可．‎ ‎【解答】解：x、y满足不等式组的可行域如图：阴影部分三角形，可得三角形的面积为： =1，‎ 直线x﹣y﹣a=0平分不等式组所表示的平面区域的面积，面积为：，‎ 此时（1，0）到直线x﹣y﹣a=0的距离为：1．‎ 可得=1，‎ 解得a=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知a，b是两个正实数．且•=（）b，则ab有（　　）‎ A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最大值2‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】根据指数函数的性质可得a+b=ab，再根据基本不等式即可求出ab的最小值．‎ ‎【解答】解：∵•=（）b，‎ ‎∴a+b=ab，‎ ‎∴ab=a+b≥2，‎ ‎∴≥2，‎ ‎∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，‎ 故则ab有最小值为4，‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．函数f（x）=cosx+ax是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导函数，令导函数大于等于0或小于等于0在（﹣∞，+∞）上恒成立，分析可得a的范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax+cosx，‎ ‎∴f′（x）=a﹣sinx，‎ ‎∵f（x）=ax+cosx在（﹣∞，+∞）上是单调函数，‎ ‎∴a﹣sinx≥0或a﹣sinx≤0在（﹣∞，+∞）上恒成立，‎ ‎∴a≥1或a≤﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．某几何体的三视图如图所示，则其体积为　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．‎ ‎【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．‎ 所以体积．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，则实数a的取值范围是　a＞2　．‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】联立方程组解出交点坐标，解不等式即可解决．‎ ‎【解答】解：由直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0，得x=，y=．‎ ‎∵两直线l1：ax﹣y+2=0和l2：x+y﹣a=0的交点在第一象限，‎ ‎∴＞0，．＞0，‎ 解得：a＞2．‎ 故答案为a＞2．‎ ‎　‎ ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13，14，15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为　84　平方里．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．‎ ‎【解答】解：由题意画出图象：‎ 且AB=13里，BC=14里，AC=15里，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ cosB===，‎ 所以sinB==，‎ 则该沙田的面积：即△ABC的面积S=AB•BC•sinB==84．‎ 故答案为：84．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有共同的左右焦点F1，F2，两曲线的离心率之积e1•e2=1，D是两曲线在第一象限的交点，则F1D：F2D=　‎ ‎﹣1　（用a，b表示）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设椭圆与双曲线：（A＞0，B＞0）的半焦距为c，PF1=m，PF2=n，利用椭圆、双曲线的定义，结合e1•e2=1可得aA=c2，即DF2垂直于x轴，D（c，）．‎ ‎【解答】解：设双曲线：（A＞0，B＞0），‎ 椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=m，PF2=n．∴m+n=2a，m﹣n=2A．‎ ‎∵e1e2=1，∵．‎ ‎⇒m2=n2+4c2⇒DF2垂直于x轴⇒D（c，）⇒DF2=，DF1=2a﹣，则F1D：F2D=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。共6小题，满分70分）‎ ‎17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAC=45°，∠ADC=60°，DC=，AB=3．‎ ‎（1）求AC的长；‎ ‎（2）求∠ABC的大小．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）由已知利用正弦定理即可计算得解．‎ ‎（2）由题意可求∠ACB=45°，进而利用正弦定理可求sin∠ABC=，利用小边对小角，特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎【解答】（本题满分为10分）‎ 解：（1）由于=，…3分 可得：AC==3…5分 ‎（2）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ACB=45°，…6分 ‎∴由=，可得：sin∠ABC=，…9分 ‎∴利用小边对小角可得：∠ABC=30°…10分 ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）证明：不等式lnx≤x﹣1恒成立．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，证出结论即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），‎ ‎∴f′（1）=0，f（1）=0，‎ 故切线方程是：y=0；‎ ‎（2）证明：由（1）令f′（x）＞0，解得：x＜1，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞1，‎ 故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴f（x）的最大值是f（1）=0，‎ ‎∴f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，‎ 即lnx≤x﹣1恒成立．‎ ‎　‎ ‎19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a22=37，S22=352．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可求出a1，再求出公差d，即可得到数列{an}的通项公式，‎ ‎（2）根据裂项求和，即可求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵a22=37，S22=352，‎ ‎∴S22==352，‎ ‎∴a1=﹣5，‎ ‎∴d==2‎ ‎∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7，‎ ‎（2）bn===（﹣），‎ ‎∴Tn= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，点D是椭圆C上一动点当△DF1F2的面积取得最大值1时，△DF1F2为直角三角形．‎ ‎（1）椭圆C的方程．‎ ‎（2）已知点P是椭圆C上的一点，则过点P（x0，y0）的切线的方程为+=1．过直线l：x=2上的任意点M引椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）当D在椭圆的短轴端点时，△DF1F2的面积取得最大值，得b，c，a，‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，t），则直线AM：，BM：，‎ M（2，t）在直线AM、BM上，得x1+ty1=1，x2+ty2=1．直线AB的方程为：x+ty=1‎ ‎【解答】解：（1）当D在椭圆的短轴端点时，△DF1F2的面积取得最大值．‎ 依据，解得b=c=1，a2=b2+c2=2，‎ ‎∴椭圆C的方程：．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（2，t），‎ 则直线AM：，BM：，‎ ‎∵M（2，t）在直线AM、BM上，‎ ‎∴x1+ty1=1，x2+ty2=1．‎ ‎∴直线AB的方程为：x+ty=1，显然直线过定点（1，0）．‎ ‎　‎ ‎21．已知点H（﹣1，0），动点P是y轴上除原点外的一点，动点M满足PH⊥PM，且PM与x轴交于点Q，Q是PM的中点．‎ ‎（1）求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知直线l1：x=my+与曲线E交于A，C两点，直线l2与l1关于x轴对称，且交曲线E于B，D两点，试用m表示四边形ABCD的面积．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）=（﹣1，﹣y′），=（x′，﹣y′），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）联立直线l1：x=my+与曲线E，得，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积．‎ ‎【解答】解：（1）设M（x，y），P（0，y′）（y′≠0），Q（x′，0），‎ ‎=（﹣1，﹣y′），=（x′，﹣y′），‎ ‎∵PH⊥PM，‎ ‎∴﹣x′+y′2=0，‎ ‎∵，‎ ‎∴（y≠0）；‎ ‎（2）联立直线l1：x=my+与曲线E，得，‎ ‎∴yA+yC=，yAyC=﹣，‎ 由题意，四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴S==||=||．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x3+ax2﹣3x﹣1．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（2）已知g（x）=﹣3x+1，若f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）设G（x）=f（x）﹣g（x）=x3+ax2﹣2，求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数G（x）的单调性，从而求出函数G（x）的极大值和极小值，问题转化为函数G（x）有3个不同的零点，求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=﹣4时，f′（x）=（3x+1）（x﹣3），‎ 由f′（x）≤0，解得：﹣≤x≤3，‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间是[﹣，3]；‎ ‎（2）设G（x）=f（x）﹣g（x）=x3+ax2﹣2，‎ ‎∴G′（x）=x（3x+2a），‎ 由G′（x）=0，解得：x=0或x=﹣，‎ ‎①a＞0时，在（﹣∞，﹣）上，G′（x）＞0，‎ 在（﹣，0）上，G′（x）＜0，在（0，+∞）上，G′（x）＞0，‎ ‎∴G（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）递增，在（﹣，0）递减，‎ ‎∴G（x）极大值=G（﹣）=a3﹣2，G （x）极小值=G（0）=﹣2，‎ f（x）与g（x）的图象有三个不同交点等价于函数G（x）有3个不同的零点，‎ ‎∴a3﹣2＞0，解得：a＞；‎ ‎②a＜0时，在（﹣∞，0）上，G′（x）＞0，在（0，﹣）上，G′（x）＜0，‎ 在（﹣，+∞）上，G′（x）＞0，‎ ‎∴G（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）递增，在（0，﹣）递减，‎ ‎∴G（x）极大值=G（0）=﹣2，G（x）极小值=G（﹣）=a3﹣2，‎ 由于G（x）极大值＜0，故G（x）只有1个零点，不合题意；‎ ‎③a=0时，在R上，G′（x）≥0，‎ ‎∴G（x）在R递增，‎ ‎∴G（x）只有1个零点，不合题意；‎ 综上，a的范围是（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2017年2月7日