命题角度4-1 空间平行 垂直关系的证明（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

命题角度4-1 空间平行 垂直关系的证明（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度1：空间平行，垂直关系的证明 ‎1.如图1，在中， ， 、分别为， 的中点，点为线段上一点，将沿折起到的位置，使，如图2.‎ ‎(I)求证： ∥平面；(II)求证： ；‎ ‎(Ⅲ)若为线段中点，求证： ⊥平面 ‎【答案】（I）见解析（II）见解析(Ⅲ)见解析 试题解析：‎ ‎（I）因为分别为的中点，所以 又因为 ‎（II）由已知得 所以， ，又因为 所以 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，对空间想象能力有很高要求.‎ ‎2.如图，在三棱锥中，已知平面平面.‎ ‎（1）若，求证： ；‎ ‎（2）若过点作直线平面，求证： 平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设借助面面垂直的性质定理证明平面平面，然后运用线面垂直的性质定理证明；（2）借助题设条件先证明平面，进而确定，然后再运用线面平行的性质定理推证：‎ 证明：（1）因为平面 平面 ，平面 平面， 平面， ，所以平面.因为平面，所以 .又因为 平面所以平面又因为平面所以.‎ ‎3.如图，在四棱锥中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．‎ ‎（1）求到平面的距离 ‎（2）在线段上是否存在一点，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）（II）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用等体积法结合题意可求得到平面的距离为；‎ ‎(2)当时满足题意，利用题中所给的条件进行证明即可.‎ 试题解析：‎ 解：（1）方法一：因为平面， ,又,‎ 所以平面，又，所以到平面的距离为.‎ 方法二：等积法求高.‎ ‎4.如图，四棱柱中， 平面， ， ， 为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连结，可证明四边形是平行四边形，所有 又根据中，中位线的性质， ，根据平行线的传递性可知；（Ⅱ）根据条件可证明，所有 平面，即，也可证明，所有平面，即证明了平面平面.‎ 试题解析：（Ⅰ）分别取中的中点为，并连接，‎ 则由， 得， ， ，‎ 可得四边形为平行四边形，那么， ，又， ，‎ 所以，且，得四边形是平行四边形，‎ 可得，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，则，‎ 可得，则，‎ 即， ，那么，又，‎ 得平面，那么，由，‎ 得，又，那么，‎ 同理， ，即得，可得平面，‎ 即得平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查了平行与垂直的证明，而垂直的证明是难点，若是证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直，线线垂直，或是三边满足勾股定理，证明线线垂直；若是证明线面垂直，一般根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直；若是证明面面垂直，同样是根据判断定理转化为证明线面垂直，则面面垂直.‎ ‎5.如图，四边形与均为平行四边形， 分别是的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)连接，结合题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得平面.‎ ‎(2)结合题意首先证得线面平行： 平面， 平面，且与为平面内的两条相交直线，据此可得平面平面.‎ ‎（2）因为分别为平行四边形的边的中点，‎ 所以，‎ 又平面， 平面，‎ 所以平面.‎ 又为中点，‎ 所以为的中位线，所以，‎ 又平面， 平面，‎ 所以平面，‎ 又与为平面内的两条相交直线，‎ 所以平面平面.‎ 点睛：证明两个平面平行的方法有：‎ ‎①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；‎ ‎②用判定定理或推论(即“线线平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；‎ ‎③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；‎ ‎④借助“传递性”来完成．‎ ‎6.在正方体中， 分别是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）棱上是否存在点，使平面？请证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）在棱上取点，使得，则平面.‎ ‎【解析】试题分析：(1)证明平面平面，可先证明平面，可先证明， . (2) 延长， 交于，连交于,得且，四边形为平行四边形，所以，即．即证得平面 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎(2)解：在棱上取点，使得，则平面．‎ 证明如下：延长， 交于，连交于．‎ 因为， 为中点，所以为中点．‎ 因为，所以，且．‎ 因为， 为中点，所以且，‎ 即四边形为平行四边形，‎ 所以，即．‎ 又平面， 平面，‎ 所以平面．‎ 点睛：存在性问题，可以由果索因，找出所求点的位置，写过程时把结论先写上，利用这一条件证出结果.‎ ‎7.如图，在多面体中，平面平面，四边形是菱形，四边形是矩形， ， 是的中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意证得， 然后由线面平行的判断定理可得平面.‎ ‎(2)利用题意证得平面.由面面垂直的判断定理可得平面平面. ‎ 试题解析：‎ ‎ （1）证明：设，连接，‎ 因为四边形是菱形，O是AC的中点 ‎ 又是CF的中点，所以是三角形的中位线，‎ 所以， ‎ 又平面， 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接，四边形是菱形，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 平面， ，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以. ‎ 在矩形中，设，则， ，‎ 由勾股定理可得， 为直角三角形，且. ‎ 因为， ， ，‎ 所以平面. ‎ 又平面，‎ 所以平面平面. ‎ ‎8.如图，在几何体中，底面为矩形， ， ， ， ， 为棱上一点，平面与棱交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求证： ；‎ ‎（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出值；若不能，说明理由。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意证得平面．所以．‎ ‎(2)利用线面平行的性质定理平面．所以．‎ ‎(3)假设平面是否可能与平面垂直，结合题意可求得 ‎（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：‎ 连接．因为， ，‎ 所以平面．‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 因为平面平面，‎ 若使平面平面，‎ 则平面，所以．‎ 在梯形中，因为， ， ， ，‎ 所以．‎ 所以若使能成立，则为的中点．‎ 所以．‎ 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.‎ ‎9.如图，梯形中， ，四边形为正方形，且平面平面.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意首先证得平面，由线面垂直的定义可得.‎ ‎(2) 在棱上存在点，使得平面平面，且，利用面面平行的判断定理结合题意证得该结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)证明：连接.因为在梯形中， ，‎ ‎，又因为平面平面，平面平面平面平面，又因为 正方形中， 且平面平面，又平面.‎ 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.‎ ‎10.如图，已知长方形中， ， 为的中点，将沿折起，使得平面平面，设点是线段上的一动点（不与， 重合）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）求证： 不可能与垂直．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由于折叠时有平面平面，因此取中点，则有，从而有平面，因此是三棱锥的高，求出高和底面积可得体积；‎ ‎（Ⅱ）假设能与垂直，由已知又可得，从而平面，因此有，从而有平面，因此，这是不可能的，结论得出．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅱ）假设．‎ 由（Ⅰ）可知， 平面，∴．‎ 在长方形中， ，‎ ‎∴、都是等腰直角三角形，∴．　‎ 而、平面， ，‎ ‎∴平面．‎ 而平面，‎ ‎∴．‎ 由假设， 、平面， ，‎ ‎∴平面，‎ 而平面，∴，‎ 这与已知是长方形矛盾，‎ 所以， 不可能与垂直．　‎