2019-2020学年安徽省太和中学高二（实验班）上学期第四次月考数学（理）试题 解析版

2019-2020学年安徽省太和中学高二（实验班）上学期第四次月考数学（理）试题 解析版

安徽省太和中学2019-2020学年高二（实验班）上学期第四次月考数学试题（理）‎ ‎ 测试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、若命题p：，，命题q：，.则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设，是非零向量，“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.根据最小二乘法由一组样本点(xi，yi)(其中i＝l，2，…，300)，求得的回归方程是，则下列说法正确的是 A.至少有一个样本点落在回归直线上 B.若所有样本点都在回归直线上，则两变量之间为函数关系 C.对所有的解释变量xi(i＝1，2，…，300)，的值一定与yi有误差 D.若回归直线的斜率>0，则变量x与y正相关 ‎5.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )‎ A．134 B．‎67 ‎C．182 D．108‎ ‎6.设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ‎∠AMB=120°，则m的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若,则的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9.如图所示，已知椭圆方程为，A为椭圆的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为 的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知椭圆的焦点坐标为，，过的直线与交于，两点，若 ‎，，则的方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ 二、 填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13.过年时小明的舅舅在家庭微信群里发了一个10元的红包，红包被随机分配为2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.现已知小明与爸爸都各自抢到了一个红包，则两人抢到红包的金额总和不小于4元的概率为__________.‎ ‎14.点到抛物线准线的距离为2，则a的值为 ________ . ‎ ‎15.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，且四棱锥S-ABCD的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S-ABCD体积的最大值为__________.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过A作直线l与抛物线交于M、N两点，则的取值范围为______________．‎ 三、 解答题（写出必要的文字说明和步骤。共70分）‎ ‎17.（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（12分）随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:‎ 编号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 数量y（单位：辆）‎ ‎34‎ ‎95‎ ‎124‎ ‎181‎ ‎216‎ ‎（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；‎ ‎(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；‎ ‎③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：‎ ‎（ⅰ）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；‎ ‎（ⅱ）如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数)‎ 参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，，直线与平面所成的角等于．‎ ‎（Ⅰ）证明： 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为.‎ ‎（I）若，求的方程；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎21、如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.‎ ‎（I）求二面角的正弦值；‎ ‎（II）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.‎ ‎22.已知点关于坐标原点对称，，圆M过点且与直线相切.‎ ‎（I）若在直线上，求圆M的半径；‎ ‎（II）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.‎ 高二实验班第四次月考理科数学参考答案 ‎1.C 【分析】‎ 先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.‎ ‎【详解】对于命题p,,所以命题p是假命题，所以是真命题；‎ 对于命题q, ，,是真命题.所以是真命题.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 ‎2.D【分析】‎ 先化简得到椭圆的标准方程，再列出关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围.‎ ‎【详解】由题得，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.‎ 故选：D ‎3.A ，由已知得，即，．‎ 而当时，还可能是，此时，‎ 故“”是“”的充分而不必要条件，故选A．‎ ‎4.D ‎5.B设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，‎ 则小正方形的边长为，小正方形的面积，‎ 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 ‎．‎ ‎6.A当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．‎ 点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．‎ ‎7.C【分析】‎ 设直线的方程为，联立，可得，利用韦达定理结合（），求得，的值，利用可得结果.‎ ‎【详解】因为抛物线的焦点为 所以，设直线的方程为，‎ 将代入，可得， 设，，则，，‎ 因为，所以，所以，，‎ 所以，即，所以，所以的面积，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎ 解答有关直线与抛物线位置关系问题，常规思路是先把直线方程与-抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.‎ ‎8.B模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，‎ 可得 ‎9.C知的方程为，与联立，解得，‎ 可得，那么，则，则，那么．‎ ‎10.【答案】C 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎11 D 解答：‎ 设，则 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴,即，解得，∴‎ 又 易知两两相互垂直，‎ 故三棱锥的外接球的半径为，‎ ‎∴三棱锥的外接球的体积为，‎ ‎12.B 解答：‎ 由，，设，则，，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得 ‎，故答案选B.‎ ‎13.【分析】分别列出两人各抢一个红包可能的情况，及金额总和不小于4的情况，根据古典概型公式，即可求解。‎ ‎【详解】小明与爸爸各抢到一个红包，总的可能情况有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、‎ ‎（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10种。‎ 满足条件，即两人抢到红包的金额总和不小于4元的共有4种：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。 所以满足条件的概率为，故答案为。‎ ‎【点睛】本题考查古典概型及其概率的计算问题，需认真审题，利用列举法写出满足条件即金额总和不小于4的情况是解题的关键，考查学生推理运算的能力，属基础题。‎ ‎14.或 抛物线的标准方程为，准线方程为，‎ ‎，解得或．故答案为或．‎ ‎15.6.【分析】‎ 四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD的中心M时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积.‎ ‎【详解】因为球心O在平面ABCD的射影为正方形ABCD的中心M，‎ ‎ 正方形边长为，， 则在中，‎ 所以四棱锥的高的最大值为=3，此时四棱锥体积的为 ‎【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.‎ ‎16..【分析】‎ 先由题意得到，设直线方程为，，，联立直线与抛物线方程，根据判别式，求出，再由韦达定理表示出，，再由抛物线的定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题意可得，设直线方程为，，，‎ 由得，整理得，‎ 所以，解得 又，， 因此，‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ 因为，所以.‎ 故答案为 ‎17．【答案】解：p：实数x满足x2﹣4ax+‎3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜‎3a．‎ 命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．‎ ‎（1）a＝1时，p：1＜x＜3．‎ p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．‎ 实数x的取值范围是（2，3）．‎ ‎（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．‎ ‎∴实数a的取值范围是（1，2]．‎ ‎18【详解】解：（1）由表中数据，计算得，，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎， 故所求线性回归方程为，‎ 令，得， 所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.‎ ‎（2）（i）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为，‎ 共抽取40位业主，则， 所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人.‎ ‎（ii）由题意，，‎ 所以竞价自高到低排列位于前比例的业主可以竞拍成功，‎ 结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为 预测竞拍成功的最低报价为0.4(10-X)+0.3=5/9‎ 所以936元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.‎ ‎19【解析】（Ⅰ）在中，是斜边的中点，所以.‎ 因为是的中点，所以，且，‎ 所以，.………………………………………2分 又因为，所以，且，故平面 因为平面，所以平面平面…………………5分 ‎（Ⅱ）方法一：取中点，则 因为，所以.‎ 又因为，所以平面，故平面 因此是直线与平面所成的角 所以.……………………8分 过点作于，则平面， ‎ 过点作于，连接，‎ 则为二面角的平面角.……………………………………10分 因为，‎ 所以 ‎ 因此二面角的余弦值为…………………………………………12分 方法二：‎ 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA为y，z轴建立空间直角坐标系.‎ 因为 (同方法一,过程略)‎ 则，,……………8分 所以,, 设平面的法向量 则即取,得………………………10分 设平面的法向量 则即取,得 所以 因此二面角的余弦值为…………………………………………12分 ‎20.（1）设直线的方程为，设，，‎ 联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.‎ ‎（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，‎ ‎.‎ ‎21、‎ 详解：依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，‎ ‎0），‎ E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．‎ ‎（Ⅲ）设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．‎ 易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以线段的长为.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.解答：‎ （1） ‎∵过点，∴圆心在的中垂线上即直线上，设圆的方程为 ‎，又，根据得；‎ ‎∵与直线相切，∴，联解方程得或.‎ （2） 设的坐标为，根据条件即 化简得，即的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以存在定点，使.‎