数学（文）卷·2019届广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）（2018-04）

数学（文）卷·2019届广东省中山市第一中学高二下学期第一次统测（4月段考）（2018-04）

中山一中2017~2018学年第二学期高二年级第一次统测 ‎ 数学（文科）试题 ‎ 本试卷满分150分，考试时长120分钟.‎ 命题人: 审题人： ‎ 一、选择题：（本大题共12小题．每题5分，共60分.每个小题只有一个选项符合题目要求.）‎ ‎1．在复平面上，复数的对应点所在象限是 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是 他提出猜想：任何形如N）的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，‎ 善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻 了费马猜想，这一案例说明 ‎ A．归纳推理，结果一定不正确 B．归纳推理，结果不一定正确 C．类比推理，结果一定不正确 C．类比推理，结果不一定正确 ‎3．已知p：是方程的一个根，q：，则p是q的( )条件 ‎ A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎4．已知函数，则其导数 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列论断中错误的是 A．a、b、m是实数，则“am2>bm2”是“a>b”的充分非必要条件；‎ B．命题“若a>b>0，则a2>b2”的逆命题是假命题；‎ C．向量a，b的夹角为锐角的充要条件是ažb>0；‎ D．命题p：“∃x∈R，x2-3 x+2≥0”的否定为¬p：“∀x∈R，x2-3x+2<0” ‎ ‎6．执行如右上图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 ‎ A．或 B．或 C．或 D． 或 ‎ ‎7．函数的单调递减区间是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．分别是复数在复平面内对应的点，是原点，若，则一定是 ‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．若集合， ， 则“”的充要条件是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于 ‎，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 ‎ A． B. C. D. ‎ ‎11．设分别是内角的对边，若依次成等差数列，则 ‎ A．依次成等差数列 B．依次成等差数列 ‎ C．依次成等比数列 D．依次成等比数列 ‎ ‎12．设函数的导函数为，对任意都有成立，则 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题．每题5分，共20分）‎ ‎13．复数的共轭复数是 ． ‎ ‎14．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，‎ ‎ |AB|＝4，则C的实轴长为 .‎ ‎15．已知复数，且，则的最大值是 . ‎ ‎16．在等差数列中，若，则有成立.‎ 类比上述性质，在等比数列中，若，则有 ． ‎ 三、解答题：(本大题共6小题．共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.（10分）已知数列的前n项和为，，满足.‎ ‎（1）计算； （2）由（1）猜想的表达式．‎ ‎18．（10分）若都是正实数，且求证：与 中至少有一个成立．‎ ‎19．（12分）我校的课外综合实践研究小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到市气象观测站与市博爱医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差(°C)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数(个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该综合实践研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.‎ ‎（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程．‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ 参考数据： ；‎ ‎.‎ 参考公式：回归直线，其中.‎ ‎20．（12分）已知函数（为常数，且），当时有极大值.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若曲线有斜率为的切线，求此切线方程.‎ ‎21．（13分）已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，‎ 且，又椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别 为,，若,,三点共线，求的值．‎ ‎22．(13分) 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对于任意的，若函数在区间 上有最值，求实数的取值范围．‎ 中山一中2017~2018学年下学期高二级一统数学（文科）参 考 答 案 ‎ 一、选择题： C B D D C A D C A B B A 2018.04.02‎ 二、填空题：13.； 14. ；15. ； 16. .‎ 三、解答题： ‎ ‎17. 解： (1) 由，得即 ‎ ∴ ， ，‎ ‎ ， ‎ ‎． ……7分 ‎(2) 由（1）可猜测． …………………………10分 ‎18. 证明：假设和都不成立，则有和同时成立， …………3分 ‎∵ 且， ∴ 且 两式相加，得:.‎ ‎ ∴ ，这与已知条件矛盾. ………………9分 故 和中至少有一个成立. …………………………………10分 ‎19. 解：（1） ∵ ， ，‎ ‎ ， ．‎ ‎ ∴ ， ∴ ．‎ ‎ 故 y关于x的回归直线方程是: ． ……………………………7分 ‎（2）当时,, ； 而当时,, ． ……………11分 ‎∴ 该小组所得线性回归方程是理想的． …………………………………………12分 ‎20. 解：（1）‎ ‎ ∴ ， ∴ 或（舍去）， ∴ ． ……………4分 ‎（2）由（1）知，依题意知．∴ ．‎ ‎ 又∵ ， ∴ 或． ……………10分 ‎ 即切线方程为: 或． ……………………………………………12分 ‎21. 解：（1）由已知可得，，又， 解得．‎ ‎ 故 所求椭圆的方程为． …………………………………………4分 ‎（2）由（1）知，． 设，，‎ ‎∴ ． 又∵在椭圆上，∴，即． ‎ ‎ ∴ ．……① ………7分 由已知点在圆上， ‎ ‎ 且AB为圆的直径， ∴ ． ∴ ． ………………………………10分 ‎ 由三点共线，有．即．…② ∴ 由①、②两式得． ……13分 ‎22. 解： (1) 由已知得的定义域为，且 ．‎ ‎ ∴ 当时，的单调增区间为，减区间为 ‎； ………………………3分 ‎ 当时，的单调增区间为，无减区间． ……………………………5分 ‎(2) ， ∴ ‎ ‎∵ 在区间上有最值， ∴ 在区间上总不是单调函数，又∵ ，‎ ‎∴ ． ………8分 由题意知：对任意， 恒成立，∴ ，又∵， ∴ ． ………10分 ‎ ‎ 又对任意，恒成立． ∴ ，又， ∴ ． 综上，． …………………………………13分