高二数学同步辅导教材(第11讲)

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高二数学同步辅导教材（第 11 讲） 第六章 《不等式》小结 一、 本章主要内容 知识结构 （二）不等式的性质 1、基本性质：（1）可加性（移项法则）；（2）可乘性（变号法则）；（3）幂及方根性质；（4）倒数性 质等。 不等式的性质是证明不等式及解不等式的依据。对于不等式的性质，关键是掌握其成立的条件及不 等号的方向。应注意运用转化思想，将条件不满足的不等式运算转化为不等式的性质，如两个不等式两 边均为负数，其乘法法则如何。 （三）不等式的证明 1、不等式证明的依据：（1）不等式的性质；（ 2）基本不等式：a2+b2≥2ab（a、b∈R）， 3 cba  ≥ 3 abc （a>0，b>0，c>0）；（3）实数性质，如 a2≥0（a∈R）等。 在运用基本不等式时，应注意公式的变形使用，如由 2 ba  ≥ ab 得 ab≤ 2)2 ba(  ，由 a2+b2≥2ab 得 ab≤ 2 ba 22  。 2、不等式证明的方法 （1）常规方法：比较法（比差、比商），综合法、分析法。 （2）特殊方法：换元法（三角换元、差值换元、均值换元）、放缩法（单调性）、反证法、判别式法。 对于较复杂的不等式的证明，通常用分析法去想，以综合法去写。 不等式证明方法选择的一般规律是：先考虑能否用综合法，其必要条件有：元素是否为正实数，式 子结构是否为和或积的形式等，其次考虑比较法，特别是不等式两边都是整式或分式时，再次考虑用分 析法，最后根据题设特征，选用特殊方法，总之在选择方法时，应紧扣不等式的结构特点及不等号方向。 对于表达形式过于复杂的题目，也可先等价变形（化简），再去证明。 （四）不等式的解法 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，在这一点上，与证明不等式有本质区别。 一元一次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式、高次不等式及分式不等式均可向其转 化。 解含字母的不等式应注意分类讨论。 解一元二次不等式过程中，应充分联系二次函数及二次方程。 （五）绝对值不等 能利用三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及绝对值的基本性质如|a|≥0，|a|≥a，|a|≥-a， a∈R 及运算性质（乘、除）证明含绝对值的不等式。 （六）作为基本不等式的应用，熟练掌握运用基本不等式求二元或二元以上函数及高次函数的最值， 体会等与不等的辩证关系。 二、典型例题 例 1、求函数 1x3x x2y 2   的定义域和值域。 解题思路分析： 求定义域，就是解关于 x 的不等式： 1x3x x2 2  ≥0；根据分式函数的结构特点，考虑用基本不等 式性质求最值。 ∵ ≥0 ∴ )2 53x)(2 53x( x  ≥0 得该分式不等式的解为 2 53x2 53  ，或 x≥0 ∴ 函数定义域为( 2 53,2 53  )∪[0,+∞) 在定义域的基础上，先求函数 1x3x x2t 2   的值域。 当 x=0 时，y=0 当 x≠0 时， 3x 1x 2t   当 x>0 时， 2 1x  ≥2；当 2 53x2 53  时， x 1x  在（ 2 53  ，-1]上递增，在[-1， 2 53  ） 上递减，x=-1 时， max)x 1x(  =-2； 2 53x  或 2 53x  时， max)x 1x(  =3 ∴ x 1x3  ≤-2 ∴ 3x 1x  ≥5，或 3 x 1x0  ≤1 ∴ 0≤t≤ 5 2 ，或 t≥2 ∴ 0≤y≤ 5 10 ，或 y≥ 2 ∴ 函数值域为[0， 5 10 ]∪[ 2 ，+∞） 例 2、设 f(x)= x ax  ，是否存在正数 a，使得 f(x)在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数？ 如果在，求出所有这样的 a；如果不存在，说明理由。 解题思路分析： 利用函数单调性的定义即比差法寻找 a。该题目的结论未定（通常称这一类题目为开放性或探索型 问题），其处理方法一般是肯定结论存在，然后根据有关条件求出 a，最后检验 a 是否满足题目所有条件 （显性的及隐性的）。 假设 f(x)在（0，3]上是减函数，则当 00 ∵ f(x1)-f(x2)=x1+ )xx a1)(xx()x a x a()xx()x ax(x a 21 21 21 21 2 2 1  = 21 21 21 xx axx)xx(  ∴ 0xx axx)xx( 21 21 21  ∵ 00 ∴ x1x2-a<0 ∴ a>x1x2 上式对（0，3]上任意两个实数 x1，x2 均成立 ∴ a>(x1x2)max ∵ x1，x2≤3，x1≠x2 ∴ x1x2<9 ∴ a≥9 同理可求得，当 f(x)在[3，+∞）上是增函数时，a≤9 ∴ a=9 例3、设 f(n)是满足不等式log2x+log2(3·2n-1-x)≥2n-1（n∈N*）的自然数x的个数，设Sn=f(1)+f(2)+… +f(n)，Pn= 2n22 12 n12 n   ，试比较 Sn 与 Pn 的大小。 解题思路分析： 本题首先通过解对数不等式求出 f(n) 由 log2x+log2(3·2n-1-x)≥2n-1 得 log2x+log2(3·2n-1-x)≥ 1n2 2 2log  x>0 ∴ 3·2n-1-x>0 x(3·2n-1-x)≥22n-1 ∴ x>0 x2-3x·2n-1+22n-1≤0 ∴ x>0 2n-1≤x≤2n ∴ 2n-1≤x≤2n ∴ f(n)=2n-2n-1+1=2n-1+1 其次求 Sn： Sn=(20+21+…+2n-1)+n= 21 21 n   +n=2n+n-1 再次对 Sn 与 Pn 用比差法比较大小 Sb-Pn=2n+n-1-( 2n212 12 n 2 n   ) 令 2 n 2 =t，则 Sn-Pn=t2- 2 5 t+1=(t- 2 1 )(t-2) ∵ n∈N* ∴ t= 2 n 2 ≥ 2 1)2 1( 2 1  >0 ∴ 当 t<2，即 n=1 时，t-2<0 ∴ Sn2，即 a≥3 时，t-2>0 ∴ Sn>Pn 例 4、已知 a>0，b>0，a+2b=1，求 b 1 a 1  的最小值。 解题思路分析： 思路一：这是二元函数最值问题，可直接利用基本不等式。 b a a b23)b 1 a 1)(b2a(b 1 a 1  ≥ 223  当且仅当      1b2a b a a b2 ，即      2 21b 12a 时 223)b 1 a 1( min  ∵ 思路二：通过消元，转化为一元函数 途径一：代入消元法 由 a+2b=1 得 a=1-2b ∵ a>0 ∴ 1-2b>0 ∴ 00，b>0，a+2b=1 ∴ 令 a=cos2θ ，2b=sin2θ ，θ ∈（0， 2  ） ∴  b 1 a 1 sec2θ +2csc2θ =1+tan2θ +2(1+cot2θ )=3+(tan2θ +2cot2θ )≥ 223  当且仅当 tan2θ =2ccot2θ ，tan2θ = 2 时等号成立 ∴      1b2a 2a b2 ∴      2 21b 12a 注：本题最常见的错误解法是：由 a+2b≥ ab22 ，a+2b=1 得 ab22 ≤1，∴ ab ≤ 4 2 ，∴ ab 1 ≥ 22 2 4  ，∴ b 1 a 1  ≥ ab 2 ab 12  ≥2， 2422  。其原因是两次运用基本不等式的等号成立条件 不一样。在 a+2b≥ ab22 中等号成立的条件是 a=2b；在 b 1 a 1  ≥ ab 12 中，等号成立的条件是 a=b，当      ba b2a 时，a=b=0，与已知值矛盾。 例 5、已知 a、b、c、d 均为正实数 求证： ac adbc bd bcab  ≥4 解题思路分析： 根据不等式左边和的结构特点及不等号的方向，自左向右缩小。 途径一：左= )c d d c()a b b a(c d a b d c b a  ≥ 4c d d c2a b b a2  当且仅当 a=b 且 c=d 时等号成立 途径二：左≥ abcd2ac 1abcd2bd 1  ≥ 4 abcd abcd42 ac abcd2 ac abcd22  当且仅当      adbc bcad 即      dc ba 时等号成立 例 6、设 f(x)= n an)1n(321lg xx3x   ，其中 a∈R，n∈N，n≥2 （1）如果 x∈(-∞，1]，f(x)有意义，求 a 的取值范围； （2）如果 a∈(0，1]，证明当 x≠0 时，2f(x)F(x)，其等价命题为 a>(F(x))max ∴ F(x)在（-∞，1]上递增 ∴ 当 x=1 时，(F(x))max= 2 1n  ∴ )1n(2 1a  （2）对欲证不等式恒等变形得 ]an)1n(21[n]an)1n(21[ x2x2x22xxx   可以构造辅导不等式：(a1+a2+…+an)2≤n(a1 2+…+an 2)，其中 a1，a2，…，an 均为实数（此不等式实际 上为柯西不等式的特例），用基本不等式可以证明。 ∴ ]an)1n(21[n]an)1n(21[ 2x2x2x22xxx   又 a∈(0，1] ∴ a2≤a ∴ ]an)1n(21[n 2x2x2x2   ≤ an)1n(21[n x2x2x2   ∴ ]an)1n(21[n]an)1n(21 x2x2x22xxx   ∴ 2f(x)0），方程 f(x)-x=0 的两个根分别为 x1,x2，且满足 00 ∴ f(x)-x>0，即 f(x)>x 又 x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[a(x-x2)+1] a(x-x2)+1=1+ax-ax2>1-ax2>0 x1-x>0 ∴ x1-f(x)>0 ∴ x1>f(x) 综上所述，xc 时，考虑用单调性求此函数最值，下证明 v abv'y  在（0，c]上单调性。 21 2112 21 12 21 2 2 1 121 vv )vbva)(vv( vv )vv(a)vv(b)v abv(v abv'y'y  不妨设 c>v2>v1 ∴ v1v20 ∴ y1’-y2’>0 ∴ y1’>y2’ ∴ y’在（0，c]上递减 ∴ 当 v=c 时，y 最少