宁夏银川市宁夏大学附属中学2020届高三第五次模拟考试数学(理)试题

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宁夏银川市宁夏大学附属中学2020届高三第五次模拟考试数学(理)试题

数学(理)试卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.记全集,集合,集合,则(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为(  ) ‎ ‎ 的共轭复数为 的虚部为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.给出下列四个命题:‎ ‎①如果,则 ‎②命题“,均有”的否定是“,使得≤”;‎ ‎③在等差数列{an}中,已知公差d>0,那么数列{an}是递增数列;‎ ‎④是直线与直线平行的充分必要条件.‎ 其中正确的命题个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.已知实数满足,则的大小关系是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法,AQI指数与空气质量对应如表所示:‎ AQI ‎0~50‎ ‎51~100‎ ‎101~150‎ ‎151~200‎ ‎201~300‎ ‎300以上 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图:‎ 根据统计图判断,下列结论正确的是(  )‎ A.整体上看,这个月的空气质量越来越差 B.整体上看,前半月的空气质量好于后半个月的空气质量 C.从AQI数据看,前半月的方差大于后半月的方差 D.从AQI数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值 ‎6.正三角形ABC中,D是线段BC上的点,AB=6,BD=2,则(  )‎ A.12 B.18 C.24 D.30‎ ‎7.已知函数,则( )( )‎ A.是奇函数,且在上单调递增 B.是偶函数,且在上单调递增 C.是奇函数,且在上单调递减 D.是偶函数,且在上单调递减 ‎8 已知函数为的导函数,则下列结论中正确的是( ) ‎ A.函数的值域与的值域不同 B.存在,使得函数和都在处取得最值 C.函数和在区间上都是增函数 D.把函数的图象向左平移个单位,就可以得到函数的图象 ‎9.椭圆的焦点、,P为椭圆上的一点,已知,则△的面积为( ) A.25 B.20 C.9 D.8‎ ‎10.已知数列中a1=1,an+1=an+2,为数列的前项和,令,则数列 的前项和Tn的取值范围是 ( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( ) ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎12.已知函数,,当>0时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.设是两条不同的直线,是三个不同的平面 ‎①则; ②,则;‎ ‎③,则; ④若,则.‎ 上述四个命题中,正确命题的序号是 ;‎ ‎14. 若展开式中的二项式系数和为64,则该展开式中的常数项为_________. ‎ ‎15.数列满足:a1=1,a2=-1,an+2=an+1-an(),则数列的前2020项的和为 ;‎ ‎16.在平面直角坐标系中,双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点.若,则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 在中,角,,所对的边分别为,,,已知.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎18.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:‎ 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎(1)若将频率是为概率,从这个水果中有放回地随机抽取个,求恰好有个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)‎ ‎(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考,‎ 方案:不分类卖出,单价为元.‎ 方案:分类卖出,分类后的水果售价如下:‎ 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg)‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎22‎ ‎24‎ 从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?‎ ‎(3)用分层抽样的方法从这个水果中抽取个,再从抽取的个水果中随机抽取个,表示抽取的是精品果的数量,求的分布列及数学期望.‎ ‎19.(12分)‎ 如图,已知矩形与平行四边形所在的平面相互垂直,,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若直线与平面所成的角等于,求二面角的平面角.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,‎ ‎ 且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)不过原点的直线与椭圆交于,两点,若三直线、、的斜率,,‎ ‎ 成等比数列,求直线的斜率及的值.‎ ‎21.已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求实数的值,并求的单调区间 ‎(2)求证:当时,.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)‎ 已知曲线C的参数方程为,在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C'的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.‎ ‎23.[选修4−5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,,其中,均为正实数,且.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,求证.‎ 理科数学·答案及评分标准 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C B A C D B D C A A D 二、填空题: 13.②; 14.15 ; 15.-3 ; 16. ‎ 三、解答题 ‎17【解析】(Ⅰ)由正弦定理得:,,,‎ 又,所以,所以,‎ ‎,又因为,所以.‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎∵‎ ‎,即 所以的取值范围是.‎ ‎18.【解析】(1)因为平面平面,平面平面,且,‎ 所以平面,故.(2分)‎ 在中,,,‎ 所以,故.(4分)又,所以平面,‎ 又平面,所以.(6分)(2)由(1)可知,平面,‎ 所以为与平面所成的角,‎ 由已知可得,故,所以.(7分)‎ 又,如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,,,.‎ 所以,,.(8分)‎ 设平面的法向量为,‎ 则由,可得,即.‎ 令,则.所以是平面的一个法向量.(9分)‎ 设平面的法向量为,‎ 则由,可得,即.‎ 令,所以是平面的一个法向量.(10分)‎ 所以.‎ 设二面角的平面角为,由图可得,‎ 所以,所以二面角的平面角为.(12分)‎ ‎19.【解析】(1)设从个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为,则,‎ 现有放回地随机抽取个,设抽到礼品果的个数为,则,‎ 所以恰好抽到个礼品果的概率为,‎ ‎(2)设方案的单价为,则单价的期望值为 ‎,‎ 因为,所以从采购商的角度考虑,应该采用第一种方案.‎ ‎(3)用分层抽样的方法从个水果中抽取个,则其中精品果个,非精品果个,‎ 现从中抽取个,则精品果的数量服从超几何分布,所有可能的取值为,‎ 则;;;,‎ 所以的分布列如下:‎ 所以 ‎20.【解析】(1)依题意得,又 ‎ ∴椭圆的方程为.(4分)‎ ‎(2)设直线的方程为,由得,∴. ‎ 由题设知,‎ ‎∴,∴,∵,∴. ‎ 此时 则 ‎21【解析】(1),,,‎ 又曲线在点处的切线方程为,则,即,‎ ‎,令,得,即;‎ 令,得,即,所以的单调增区间是,单调减区间是.‎ ‎(2)当时,要证即证,‎ 令,则,‎ 当时,,单调递增;当时,,单调递减,‎ 所以,即当时,.‎ ‎22.【解析】(Ⅰ), ‎ 将,代入C的普通方程可得x'2+y'2=1, ‎ 即C':x2+y2=1,所以曲线C'的极坐标方程为 C':ρ=1‎ ‎(Ⅱ)点直角坐标是,‎ 将l的参数方程,代入x2+y2=1,‎ 可得, ∴t1+t2,t1•t2,所以. ‎ ‎23.[选修4−5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,,其中,均为正实数,且.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)当时,求证.‎
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