数学卷·2018届安徽省豪州市蒙城县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 （解析版）

数学卷·2018届安徽省豪州市蒙城县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省豪州市蒙城县第一中学2016-2017学年高二第一次月考 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知数列中，，且，则等于（ ）‎ A．18 B．19 C．20 D．21‎ ‎【答案】B 考点：等差数列的定义与性质.‎ ‎2. 等比数列的第四项等于（ ）‎ A．-24 B．0 C．12 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：在等比数列中，，解之得或，当时，数列的第2项与第三项均为，不符合题意，所以，当时，，所以，故选A.‎ 考点：等比数列定义与性质.‎ ‎3. 在和两数之间插入5个数，使他们与组成等差数列，则该数列的公差为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：在和两数之间插入5个数, 使他们与组成等差数列,则这个数列共有项，所以，故选B.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎4. 一个等比数列的前项和为45，前项和为60，则前项和为（ ）‎ A．85 B．108 C．73 D．65 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意有，所以，所以，故选D.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎5. 等差数列的前项和为分别是，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：等差数列的性质.‎ ‎6. 等比数列的首项，前项和为，且，则数列的前5项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设等比数列的公比为，因为，所以，解之得，所以数列是以为公比、为首项的等比数列，所以其前项的和为，故选C.‎ 考点：等比数列的定义与性质.‎ ‎7. 设等差数列的前项和为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：等差数列的定义与性质.‎ ‎8. 是等差数列，是等比数列，若，则（ ）A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差为，等比数列的公差为，因为，所以，又，所以数列不是常数列，即，设，‎ 所以，即；又，‎ 所以，即，故选B.‎ 考点：1.等差数列的性质；2.等比数列的性质；3.基本不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的性质、等比数列的性质、基本不等式，属中档题；等差数列的通项公式是关于的一次函数，等比数列的通项公式指数函数，若指数函数与直线有两个交点时，由图象可知，在这两个交点之间的部分直线在指数函数图象上方，当在两个交点之处时，直线在指数函数的下方，本题比较大小的本质就是指数函数与直线的交点演变而来的，命题角度新颖、独特.‎ ‎9. 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为（ ）‎ A．-110 B．-90 C．90 D．110‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.‎ 考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.‎ ‎10. 在中，角所对的边分别为．若，则角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：正弦定理.‎ ‎【名师点睛】1.本题考查正弦定理，属容易题；正弦定理与余弦定理是解决三角形问题的重要工具，在已知两边及一边对角、或两角及一角的对边时常利用正弦定理求解；或在一个等式的两边是关于边（或角）的齐次式时可利用正弦定理将边（或角）转换为相应角的正弦值（或边）的关系求解.‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11. 在等差数列中，，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列的，所以.‎ 考点：等差数列的定义与通项公式.‎ ‎12. 设数列，都是等差数列，若，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列，都是等差数列，所以数列仍是等差数列，所以.‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎13. 等比数列的前项和，则____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：等比数列的性质与前项和公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的性质与前项和公式，属中档题；当时，等比数列的性质与前项和公式为，当时，等比数列的性质与前项和公式为,由此可知当给出一数列的前项和公式为时，只要，则该数列一定是等比数列.本题就是考查这一性质的.‎ ‎14. 等比数列满足：，则___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列为等比数列,所以，解之得或，所以或.‎ 考点：等比数列的定义与性质.‎ ‎15. 在数列中，，则_____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：数列的周期性.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列的周期性，属中档题；数列同函数类似，有单调数列、摆动数列、常数列、周期数列等数列，考查周期数列时，一般是给出数列的首项或前两项，再给出递推公式，求周期数列的基某一项或求和，解题方法是写出数列的前几项，观察、归纳找到规律，得出周期性即可.‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16. （本题满分12分）‎ 已知等比数列，各项，公比为．（1）设，求证：数列是等差数列，并求出该数列的首项及公差；（2）设（1）中的数列单调递减，求公比的取值范围．‎ ‎【答案】(1)证明见解析，；(2) 当，则；当，则.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据等比数列的通项公式求出，从而求出数列的通项公式，计算为常数即可证明数列是等差数列，并可求出首项与公差；‎ ‎（2）的数列单调递减等价于数列的公差，分与分别讨论求之即可.‎ 试题解析： （1），，‎ ‎∴．　‎ ‎（2）由（1）可知，设（1）中的数列单调递减等价于数列的公差，‎ ‎①若，则当时，有，从而数列单调递减；‎ ‎②若，则当时，有，从而数列单调递减.‎ 综合知，若，则；若，则.‎ 考点：1.等差数列的定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的单调性.‎ ‎17. （本题满分12分）‎ 设有等比数列，其前项和为．‎ ‎（1）求实数的取值范围及；‎ ‎（2）是否存在实数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) 且；当时，，当时，；（2）存在.‎ 试题解析：（1）在等比数列中的任意一项均不为，所以有，‎ 即且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎①当时，数列的公比，所以；‎ ‎②当时，等比数列的首项为，公比为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由成等差数列，得 ……………………………… 7分 这里即，‎ ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 当时，成等差数列，即所求的值为 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1.等比数列的定义与性质；2.等差数列的定义与性质；3.等比数列的前项和.‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 已知数列的前项和，且的最大值为8．‎ ‎（1）确定常数，并求；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1),；(2).‎ 试题解析： （1）因为，又因为，所以当时，，解得，这时；‎ 所以，当时，，又也适合这个公式，所以.‎ ‎（2）设，则，…………①‎ 所以…………………………………………②‎ ①②得，所以.‎ 考点：1.二次函数；2.与关系；3.错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查.二次函数、与关系、错位相减法求和，属中档题；错位相减法求和的思想来源于等比数列的求和思想，主要解决一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列的求和问题，具体思路为：先写出和式，在和式两边同乘以等比数列的公比，用和式减去乘以的式子，得到一个新的式子，从而转化为一个等比数列的求和问题与另外一项或两项的的和的问题，这样就可以求和了，但要注意新的式子中等比数列的项数.‎ ‎19. （本题满分13分）‎ 设数列的前项和为，．‎ ‎（1）证明：数列为等差数列，并分别求出和；‎ ‎（2）设数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】(1)证明见解析，；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 由，得,再写出当时,，两式相减即可求得，证明数列是等差数列，并求其通公式与前项和；（2）由，用裂项相消法求和，利用放缩法即可证明不等式成立.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又单调递增，∴，故．‎ 考点：1.等差数列的定义与性质；2. 与关系；3.裂项相消法求和.‎ ‎20. （本题满分13分）‎ 数列满足：①；②；③．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，问：是否存在常数，使得对于任意恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2)存在或使对于任意恒成立.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由分解因式可得即，从而得到数列是以为公比的等比数列，再由求出即可求数列的通项公式；（2）由指数的运算法则计算，指数部分应用等差数列求和方法求之可得，再根据二次函数及复合函数的单调性可知.‎ 试题解析：（1）由得，，又，所以，，即，即数列是以为公比的等比数列，由得，即，所以；‎ 考点：1.等比数列的定义与通项公式；2.等差数列的前项和；3.二次函数；4.复合函数的单调性.‎ ‎21. （本题满分13分）‎ 在中，角的对边分别是，已知．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求边的值．‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用正弦定理将条件中的边用正弦值代替，再利用两角和的正弦公式，三角形内角和定理、诱导公式进行化简、整理即可求出的值；(2)由先求出，由与已知已知条件联立解方程可可求得，再利用正弦定理即可求出边.‎ 试题解析： （1），‎ 由正弦定理得，，‎ 又因为 且为三角形内角，所以，‎ 所以，即；‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 代入得，于是，‎ 由正弦定理得，．‎ 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角形内角和定理；3.三角恒等变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理、三角形内角和定理、三角恒等变换，属中档题；解三角形问题实质是附加条件的三角变换,因此在解三角形问题的处理中,正弦定理、余弦定理就起到了适时、适度转化边角的作用,分析近几年的高考试卷,有关的三角题,大部分以三角形为载体考查三角变换.‎ ‎ ‎