数学卷·2018届【全国百强校】河南省漯河市高级中学高二12月月考文数试题解析（解析版）

数学卷·2018届【全国百强校】河南省漯河市高级中学高二12月月考文数试题解析（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）‎ A．13 B．49 C．63 D．35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎2.设且，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 ‎ B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：指数函数图象如下图所示，要则需，或，即 ‎，故为充要条件.1‎ 考点：充要条件．‎ ‎3.在三角形中若．则满足条件的三角形的个数有（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：解三角形.‎ ‎4.在中，已知，则该的形状为（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理得，化简得，所以或，故选D.‎ 考点：解三角形.‎ ‎5. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，以为变量看成一次函数，当时，，解得；当时，，解得.综上，选B.‎ 考点：二次函数最值.‎ ‎6.某镇人口第二年比第一年增长，第三年比第二年增长，又这两年的平均增长率为，则与的关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：平均增长率与平均数.‎ ‎7.双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两支分别交与点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，根据双曲线的定义有，在三角形中，，由余弦定理得，化简得.‎ 考点：直线与双曲线的位置关系.‎ ‎8.已知集合，若成立的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，必要不充分条件，即范围比要大，所以.1‎ 考点：绝对值不等式，充要条件.‎ ‎9.若不等式有唯一解，则的值是（ ）‎ A．2或-1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，当时，，故选A.‎ 考点：一元二次不等式.‎ ‎10.已知抛物线焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，是坐标原点，若，则（ ）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：直线和抛物线的位置关系.‎ ‎11.已知函数，则 的值为（ ）‎ A．4033 B．-4033 C．8066 D．-8066‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以原式.‎ 考点：函数求值，倒序求和法.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是，故考虑是不是定值.通过算，可以得到，每两个数的和是，其中，所以原式等价于个即.‎ ‎12.已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，设是双曲线上的一点，则的大小不可能是（ ）‎ A．165° B．60° C．25° D．15°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：直线和圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的渐近线，考查直线斜率和倾斜角的对应关系.要求出的取值范围，要先求得渐近线的方程，注意到渐近线的斜率为，对应的倾斜角就是，然后讨论在右支和左支两种情况，由此求得倾斜角的取值范围，对比答案可知B选项是不可能的.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.下列命题中真命题的个数为_____________．‎ ‎（1）命题“”的否定是“”‎ ‎（2）若，则．‎ ‎（3）已知数列，则“成等比数列”是“”的充要条件 ‎（4）已知函数，则函数的最小值为2．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（2）只有在三角形内才成立；（3）有可能各项为零，故不是充要条件；（4）函数有可能为负数，故错误.综上，真命题有个.‎ 考点：全称命题与特称命题，充要条件，基本不等式，解三角形.‎ ‎14.在数列中，若，则数列的通项公式是 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故首项为，公比为，所以.‎ 考点：递推数列求通项.‎ ‎15.若正数满足，则的最小值为 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：基本不等式.‎ ‎【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.由于题目含有两个参数，难以变形，所以考虑先利用，求出用来表示，然后代入要求最值的式子，此时恰好符合基本不等式“二定”的条件，由此求得最小值.‎ ‎16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：中国数学文化，中国剩余定理.‎ ‎【思路点晴】中国古代数学文化史是高考新考上主要强调要求的内容.平时要经常阅读一些有关中国古代数学史的书籍.本题主要考查对新定义“中国剩余定理”的理解，由于这个数既可以被除余，也可以被除余，可将为题转化为求是的倍数来解.注意到，由此可知这个数列一共有项.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 在中，角的对边分别为.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用正弦定理，化简得到，；（2）利用余弦定理求得，由三角形面积公式求得面积为.1‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式可化为：，‎ 即，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 考点：解三角形，正余弦定理.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且对于任意正整数，都有成立．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）记，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ 考点：已知求，裂项求和法.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知函数为奇函数 ‎（1）比较的大小，并说明理由.（提示：）‎ ‎（2）若，且对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵函数为奇函数，‎ ‎∴，∴，∴，对恒成立，∴，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∵，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎∵在上递减，∴．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（2）由为奇函数可得，‎ ‎∵，∴，‎ 又在上递减，‎ ‎∴即对恒成立，‎ ‎∵在上递增，∴，又，∴．．．．．．．．．．12分 考点：函数的奇偶性与单调性.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于两点，．‎ ‎（1）求证：为定值；‎ ‎（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长：如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，消去，利用韦达定理得到；（2）设存在直线满足条件，先求得中点的坐标，由此求得圆的半径，求得到直线的距离，利用弦长公式建立方程，求出.1‎ 试题解析：‎ 设直线的方程为，‎ 由得，∴，‎ 因此有为定值．‎ 当，即时，弦长为定值2，这时直线方程为．‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎21.（本题满分12分）已知命题：直线与圆有两个交点；命题：.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎∵，∴，‎ 所以该圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离．‎ 若为真，则圆心到直线的距离小于半径，即，解得．‎ 若为真，则在上有解，‎ 因为 ，又由，得，‎ 所以，‎ 即，故若为真，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：直线与圆的位置关系、三角函数值域、含有逻辑连接词的命题真假性.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设椭圆经过点，且离心率等于.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎（2）设直线的方程为，联立椭圆方程得 ‎，‎ ‎，‎ 由得，‎ ‎（舍去），，所以过定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查利用向量作为工具解题的方法.第一问求椭圆的标准方程，除了这一条件，题目还给了椭圆上的一点和椭圆的离心率，根据这三个条件列方程组，解这个方程组求得椭圆的方程.第二问建立的两条直线是垂直的，所以考虑转化为两个向量的数量积等于零来求解.‎