安徽省定远重点中学2020届高三3月线上模拟考试数学（理）试题

安徽省定远重点中学2020届高三3月线上模拟考试数学（理）试题

定远重点中学 2020 届高三 3 月线上模拟考试 理科数学 本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 ，集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2.已知 i 是虚数单位， ，则 A. 10 B. C. 5 D. 3.2018 年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数 （单位：辆）均服从正态分布 ，若 ，假设三个收费口 均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过 700 辆的概率为 A. B. C. D. 4.已知等差数列 中， ，则 的值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5.如图所示的一个算法的程序框图，则输出 的最大值为 A. B.2 C. D. 6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广 一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其 中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其 中小正方形网格的边长为 1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为 A. 40 B. 43 C. 46 D. 47 7.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质 量越好，其对应关系如下表： AQI 指数 值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市 10 月 1 日—20 日 AQI 指数变化趋势： 下列叙述错误的是 A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 8. 的展开式中含 的项的系数为 A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 9.已知 满足约束条件 若目标函数 的最大值是 6，则 A. B. C. D. 10.函数 的图像大致为 11.已知是定义在 上的奇函数，满足 ，且当 时， ， 则函数 在区间 上的所有零点之和为 A. B. C. D. 12.已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 、 ，且双 曲线 C 与圆 在第一象限相交于点 A，且 ，则双曲线 C 的离 心率是 A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90 分） 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 14.无穷等比数列 的通项公式 ，前 项的和为 ，若 ， 则 ________ 15.将一个半径为 2 的圆分成圆心角之比为 1:2 的两个扇形，且将这两个扇形分别 围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为____． 16.已知函数 ，若对于任意的正整数 ，在区间 上存在 个 实数 、 、 、 、 ，使得 成立，则 的最大值为 ________ 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. （本小题满分 12 分）如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小； （2）若 为 外一点， ，求四边形 面积的 最大值. ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )cosCa b sinC= + B ,2A D π= ABC∆ 2, 1DB DC= = ABCD 18. （本小题满分 12 分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动， 在 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验 地随机抽取各 株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示 的频率分布直方图.记综合评分为 及以上的花苗为优质花苗. 求图中 的值，并求综合评分的中位数. 用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块试验地随机抽取 棵花苗，求 所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； 填写下面的列联表，并判断是否有 的把握认为优质花苗与培育方法有关. 附：下面的临界值表仅供参考. （参考公式： ，其中 .） 19. （本小题满分 12 分）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是 的中点. 1 1 1ABC A B C− 1 1A AC C ⊥ ABC 90ABC∠ = ° 1 130 , , ,BAC A A AC AC E F∠ = ° = = 1 1,AC A B （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 20. （本小题满分 12 分）已知点 ，过点 D 作抛物线 的切 线 l，切点 A 在第二象限． 求切点 A 的纵坐标； 有一离心率为 的椭圆 恰好经过切点 A，设切线 l 与椭圆的另 一交点为点 B，记切线 l，OA，OB 的斜率分别为 k， ， ，若 ，求椭 圆的方程． 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ． （1）若函数 与 的图象上存在关于原点对称的点，求实数 的取值范 围； （2）设 ，已知 在 上存在两个极值点 ，且 ，求证： （其中 为自然对数的底数）． 22. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ ）． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若关于 不等式 的解集为 ，求 的取值范围． EF BC⊥ EF 1A BC ( ) ( ) 21ln , 2f x x x g x mx= = ( )f x ( )g x m ( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( )F x ( )0, ∞+ 1 2,x x 1 2x x< 2 1 22x x e> e ( ) 2 4f x x m x m= − − + 0m > 2m = ( ) 0f x ≤ x ( ) ( )2 1f x t t t R≤ − + + ∈ R m 参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B C C C C C B C A C A 13. 14. 或 15. 16.6 17.（1） （2） 解：（1）在 中， . 有 ， ，则 ，即 ，则 . （2）在 中， ， 又 ， 则 为等腰直角三角形， ，又 ， ， 当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 . 18. 解： 由 ， 解得 令得分中位数为 ，由 解得 故综合评分的中位数为 由 与频率分布直，优质花苗的频率为 ，即概率为 ， 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为 ，则 ，于是， 4 5 4B π= 5 24 + ABC∆ ( )cosCa b sinC= + ( ) ( ) ( )sin cos , cossinA B sinC C sin B C sinB sinC C= + + = + cos , 0BsinC sinBsinC sinC∴ = > cosB sinB= ( )tan 1, 0,B B π= ∈ 4B π= BCD∆ 2 2 22, 1, 1 2 2 1 2 cos 5 4cosBD DC BC D D= = ∴ = + − × × × = − 2A π= ABC∆ 21 1 1 5 cos2 2 4 4ABCS BC BC BC D∆ = × × × = = − 1 2BDCS BD DCsinD sinD∆ = × × = 5 5cos 24 4 4ABCDS D sinD sin D π ∴ = − + = + −   3 4D π= ABCD 5 24 + 其分布列为： 所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 结合 与频率分布直方图，优质花苗的频率为 ，则样本 种，优质花苗的颗数为 棵，列联表如下表所示： 可得 所以，有 的把握认为优质花苗与培育方法有关系. 19. 解：(1)如图所示，连结 ， 等边 中， ，则 ， 平面 ABC⊥平面 ，且平面 ABC∩平面 ， 由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ， 由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ， 1 1,A E B E 1AAC△ AE EC= 3sin 0 sin 2B A ，≠ ∴ = 1 1A ACC 1 1A ACC AC= 1A E ⊥ ABC 1A E BC⊥ 1 1A B AB∥ AB BC⊥ 1 1A B BC⊥ 1 1 1 1A B A E A= 由线面垂直的判定定理可得： 平面 ， 结合 ⊆平面 ，故 . (2)在底面 ABC 内作 EH⊥AC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系 . 设 ，则 ， , ， 据此可得： ， BC ⊥ 1 1A B E EF 1 1A B E EF BC⊥ 1EA E xyz− 1EH = 3AE EC= = 1 1 2 3AA CA= = 3, 3BC AB= = ( ) ( ) ( )1 3 30, 3,0 , , ,0 , 0,0,3 , 0, 3,02 2A B A C  −     20.（1） （2） 解： 设切点 则有 ， 由切线 l 的斜率为 ， 得 l 的方程为 ， 又点 在 l 上所以 即 所以点 A 的纵坐标 ． 由 得 ，切线斜率 ， 设 ，切线方程为 ， 由 得 又 ， 所以 ． 所以椭圆方程为 且过 ， 所以 ． 由 得 ， 所以 ， 又因为 ， 即 ， 解得 ，所以 所以椭圆方程为： 21. 解：（1）函数 与 的图像上存在关于原点对称的点， 即 的图像与函数 的图像有交点， 即 在 上有解. 即 在 上有解. 设 ，（ ），则 当 时， 为减函数；当 时， 为增函数， 所以 ，即 . （2） ， 在 上存在两个极值点 ， ，且 ， 所以 因为 且 ，所以 ， 即 ( )f x ( )g x 21( ) ( )2g x m x− − = − − ( ) lnf x x x= 21 ( ) ln2 m x x x− − = (0, )+∞ 1 ln 2 xm x = − (0, )+∞ ln( ) xx x ϕ = − 0x > 2 ln 1( ) xx x ϕ′ −= (0, )x e∈ ( )xϕ ( , )x e∈ +∞ ( )xϕ min 1( ) ( )x e e ϕ ϕ= = − 2m e ≥ − 21( ) ( ) ( ) ln 2F x f x g x x x mx= − = − ( ) ln 1F x x mx′ = − + ( )F x (0, )+∞ 1x 2x 1 2x x< 1 1 2 2 ln 1 0 ln 1 0 x mx x mx − + =  − + = 1 2 1 2 ln ln 2x xm x x + += + 1 2 1 2 ln lnx xm x x −= − 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln 2 ln lnx x x x x x x x + + −=+ − 1 1 2 21 2 1 1 2 11 2 2 2 1 ln ln ln 2 ln 1 x x x xx x xx x xx x x x  + +  + + = =− − 设 ，则 要证 ，即证 ， 只需证 ，即证 设 ， ， 则 在 上单调递增， ， 即 所以， 即 . 22.（1） （2） 解：（1）当 时， ． 所以 ，即为 ， 所以 ，所以 ， 即所求不等式解集为 ． （2）“关于 不等式 （ ）的解集为 ”等价于“对任意实数 和 ， ”， 因为 ， ， 所以 ，即 ，又 ，所以 ． 1 2 (0,1)xt x = ∈ 1 2 ( 1)lnln ln 2 1 t tx x t ++ + = − 2 1 22x x e> 1 2ln ln 2 2x x+ + > ( 1)ln 21 t t t + >− 2( 1)ln 01 tt t −− <+ 2( 1)( ) ln 1 th t t t −= − + 2 2 2 1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) th t t t t t ′ −= − = >+ + 2( 1)( ) ln 1 th t t t −= − + (0,1) ( ) (1) 0h t h< = 2( 1)( ) ln 01 th t t t −= − <+ 1 2ln ln 2x x+ > 2 1 22x x e> [ )2,− +∞ 10 2m< ≤ 2m = ( ) 4 8f x x x= − − + ( ) 0f x ≤ 4 8 0x x− − + ≤ 4 8x x− ≤ + 2x ≥ − [ )2,− +∞ x ( ) 2 1f x t t≤ − + + t R∈ R x t ( ) ( )max min 2 1f x t t≤ − + + 2 4 6x m x m m− − + ≤ 2 1 3t t− + + ≥ 6 3m ≤ 1 2m ≤ 0m > 10 2m< ≤