数学（理）卷·2018届天津市五区县高二上学期期末考试（2017-01）

数学（理）卷·2018届天津市五区县高二上学期期末考试（2017-01）

‎ ‎ 高二数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.给出下列四个命题：‎ ‎①已知，是常数，“”是“表示双曲线的充分不必要条件”；‎ ‎②命题：“，”的否定是：“，”；‎ ‎③已知命题和，若是假命题，则与中必一真一假；‎ ‎④命题“若，则”的逆命题是假命题．‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A．①②④ B．①③④ C．②④ D．②③‎ ‎4.已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知向量，（），则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（ ）‎ A．一个圆上 B．一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D．一条抛物线上 ‎9.设表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，，，则．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①④ B．②③ C.①②③ D．②③④‎ ‎10.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为．则的值为（ ）‎ A．1 B． C.2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共80分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎12.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ．‎ ‎13.已知直线与圆交于两点，若，则直线在轴上的截距为 ．‎ ‎14.设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，，则的值等于 ．‎ ‎15．已知椭圆与轴的正半轴交于点，若在第一象限的椭圆上存在一点，使得（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知圆经过点和且圆心在直线上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）求倾斜角为且与圆相切的直线的方程．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 如图：在斜三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4的点，．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的面积．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，平面，，四边形为矩形，，，是棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，且与直线相交于两点．‎ ‎（1）若椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，且以椭圆上任一点和左右焦点，为顶点的的周长为，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求弦的长；‎ ‎（3）当椭圆的离心率满足，且以为直径的圆经过坐标原点，求椭圆长轴长的取值范围．‎ ‎ 天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 ‎1-5:ADCBD 6-10:DABBC 二、填空题 ‎11. 12. 13. 14. 15．‎ 三、解答题 ‎16.解：（1）解法一：‎ 所以圆的方程为 ． …………………………………………6分 解法二：[来源:学科网]‎ 依题意易得线段的中垂线方程为 ．…………………………………3分 联立方程组 解得 所以圆心 ，‎ 所以圆 的方程为 ．………………………………………6分 ‎（2）直线的倾斜角为 ‎　　∴　　　　　　 　………………………………………8分 ‎∴可设直线的方程为 由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离 ‎　　　　　　　　 ………………………………………11分 解得 ‎∴直线的方程为　　　　………………………………………12分 ‎17.解：（1）‎ ‎∴‎ ‎∴………………2分 又四边形是矩形 ‎∴………………3分 又 ‎∴平面 又平面 ‎∴平面平面　　………………………………………6分 ‎（2）取的中点，连结 ‎，‎ ‎∴为正三角形 ‎∴ …………………………8分 由（Ⅰ）可知平面 平面[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴平面平面 又平面平面 ‎∴平面 ‎∴是在平面上的投影 ‎∴是直线与平面所成的角 …………………………10分 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分 ‎18. 解：（1）抛物线的准线方程为：‎ 由抛物线的定义可知：‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分 ‎（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分 联立 消得：，‎ 所以 　　　　　　　　　　　　　　　……………………………8分 所以 ，　　　　　　　　　　　　　…………………10分 又因为到直线的距离 ，‎ 所以 ．　　　　……………………………………12分 ‎19.解：‎ ‎（1）连接交于，连接 ‎ 四边形为矩形 ‎∴为的中点，‎ 又是中点 ‎∴ ………………………………2分 ‎，‎ ‎∴ ………………………………3分 ‎（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系, ‎ 依题意得，，，，，，，………………………………………………4分 易得， 　　　　 　…………………5分 ‎　　　　　………………………6分 ‎　∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分 ‎（3）由题意可知：‎ 平面的一个法向量为　　　　　　…………………………8分 又可解得 ‎ 故设平面的一个法向量为 则即不妨令，可得 ……10分 于是 所以二面角的余弦值为 …………………………12分 ‎20. 解： (1)由题意可知： …………………………1分 ‎ …………………………2分 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴椭圆的方程为： ……………………………3分 ‎(2) 设点，‎ 由方程组消去，整理得 ………………4分 求解可得， ………………………………5分 ‎ ………………………………6分 ‎（3）由方程组 消去，整理得 ‎ 设点，‎ ‎， ……………………………7分 以为直径的圆经过坐标原点，∴‎ ‎∴‎ ‎∴① ……………………………8分 又　　　∴‎ 由①可知　　　　　　　　　 ………………………………10分 ‎∴‎ ‎∴　　∴　　　　……………………………12分