【数学】2020届一轮复习人教A版 复数 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 复数 学案

第31讲　复　　数 夯实基础　【p71】‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件．‎ ‎2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．‎ ‎3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义．‎ ‎【基础检测】‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．设i为虚数单位，则(1＋i)4＝(　　)‎ A．－4 B．4 C．－4i D．4i ‎【解析】(1＋i)4＝(2i)2＝－4，选A.‎ ‎【答案】A ‎2．已知复数z＝ (i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．0 C．1 D．i ‎【解析】因为z＝＝＝，故虚部为1.‎ 故选C.‎ ‎【答案】C ‎3．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1)i，则|z|＝(　　)‎ A．2 B. C. D．5‎ ‎【解析】由复数相等的充分必要条件有：即 则z＝1＋2i，|z|＝＝.‎ 故选C.‎ ‎【答案】C ‎4．已知i是虚数单位，复数是z的共轭复数，复数z＝＋3i－1，则下面说法正确的是(　　)‎ A．z在复平面内对应的点落在第四象限 B.＝2＋2i C.的虚部为1‎ D.＝2‎ ‎【解析】复数z＝＋3i－1＝＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i，‎ 则z在复平面内对应的点(－2，2)落在第二象限，‎ ＝－2－2i，＝＝＝－1＋i，其虚部为1，＝.‎ 因此只有C正确．‎ 故选C.‎ ‎【答案】C ‎【知识要点】‎ ‎1．复数的概念 ‎(1)复数：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作__复数__，其中i叫作__虚数单位__，全体复数所构成的集合C叫作__复数集__．　　(2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．这一表示形式叫作复数的__代数形式__，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．‎ ‎(3)复数的相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di相等的充要条件是__a＝c且b＝d__，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.‎ ‎(4)复数的分类：对于复数a＋bi，‎ 当且仅当__b＝0__时，它是实数；‎ 当且仅当__a＝b＝0__时，它是实数0；‎ 当b≠0时，叫作__虚数__；‎ 当a＝0且b≠0时，叫作__纯虚数__．‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复平面：如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．　　(2)复数与点：复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即Ｋ，这是复数的一种几何意义．‎ ‎(3)复数与向量：复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即 复数z＝a＋bi←平面向量＝(a，b)，这是复数的另一种几何意义(如图所示)．‎ 即有：‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫作复数z＝a＋bi的__模__，记作|z|或|a＋bi|.特别地，若b＝0，则z＝a＋bi＝a是__实数__，它的模为|a|(即a的绝对值)．‎ 显然，|z|＝|a＋bi|＝r＝____(r≥0，r∈R)．‎ ‎3．复数的加减法及其几何意义 ‎(1)复数的加法 ‎①法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．‎ ‎②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，‎ ‎(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎ ③几何意义：设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，有＋＝(a＋c，b＋d)，即＋是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．‎ ‎(2)复数的减法 ‎①法则：(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__，显然，两个复数的差是一个确定的复数．‎ ‎②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，－＝__(a－c，b－d)__，即向量－与复数__(a－c)＋(b－d)i__对应．‎ ‎(3)对于复数z而言，|z－(a＋bi)|＝r(r>0)(其中a∈R，b∈R)表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以(a，b)为圆心，r为半径的圆．‎ ‎4．复数的乘除法 ‎(1)复数的乘法 ‎①法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__(ac－bd)＋(bc＋ad)i__．‎ 由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然，两个复数的积仍是一个确定的复数．‎ ‎②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有：‎ z1·z2＝z2·z1，‎ ‎(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，‎ z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.‎ ‎③i的运算律：‎ 特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，其中n∈N.‎ ‎(2)共轭复数 ‎①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数(实数的共轭复数是它本身)．‎ 如a＋bi与a－bi互为__共轭复数__．‎ 复数z的共轭复数常记为z.‎ ‎②几何意义：若z1与z2是共轭复数，那么在复平面内z1与z2对应的点关于实轴对称．‎ ‎③运算：z1＝a＋bi与z2＝a－bi是共轭复数，则 z1·z2＝(a＋bi)·(a－bi)＝__a2＋b2__，‎ 显然，z1·z2＝__|z1|2＝|z2|2__．‎ ‎④性质：|z1|＝|z2|.‎ ‎(3)复数的除法 ‎(a＋bi)÷(c＋di)＝ ‎＝＝__＋i__(c2＋d2≠0)．‎ 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个确定的复数．‎ 对两个复数z1，z2，有＝.‎ ‎5．常用结论：＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i.‎ 典 例 剖 析　【p72】‎ 考点1　复数的概念 (1)设复数z1＝1＋i，z2＝i，其中i为虚数单位，则的虚部为(　　)‎ A．－1 B．1 C．i D．－i ‎【解析】1＝1－i，＝＝－1－i，虚部为－1，‎ 故选A.‎ ‎【答案】A ‎(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】若z1＝z2，等价于⇒m2＋m－2＝0⇒m＝－2或m＝1，‎ ‎∴“m＝1”⇒“z1＝z2”但“z1＝z2”⇒/　“m＝1”，‎ ‎∴“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．‎ ‎【答案】A ‎(3)若复数(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝(　　)‎ A. B．13 C．10 D. ‎【解析】由复数的运算法则有：‎ ＝＝＋i，‎ 复数(a∈R)为纯虚数，则 即a＝－2，|3－ai|＝＝.‎ 故选A.‎ ‎【答案】A ‎【小结】复数的分类及对应点位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．‎ 考点2　复数代数形式的运算 (1)已知i为虚数单位，复数z＝－＋i的共轭复数为，则＋＝__________．‎ ‎【解析】复数z＝－＋i的共轭复数为＝－－i.‎ ＝＝1.‎ 所以＋＝－i.‎ ‎【答案】－i ‎(2)已知i是虚数单位，则＋＝________．‎ ‎【解析】原式＝＋＝＋i6＝i1 010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝i2＋i2＝－2.‎ ‎【答案】－2‎ ‎【小结】复数的运算关键是两点：‎ ‎(1)i的周期性；(2)除法中分母实数化即共轭复数性质．‎ 考点3　复数的几何意义 (1)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i ‎【解析】因为z＝＝1＋i，所以其在复平面内对应的点为(1，1)，关于虚轴对称的点为A(－1，1)，故A对应的复数为－1＋i.‎ ‎【答案】D ‎(2)设复数z满足|z|＝1，则|z－2|的最小值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】由题意，复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，要求|z－2|的最小值，只需找出圆上的点到点(2，0)的距离最小的点即可．连接圆心(0，0)与点(2，0)，长度为2，故|z－2|min＝1.‎ ‎【答案】A ‎(3)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值是________；最小值是________．‎ ‎【解析】|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.表示过圆上的点(x，y)及(0，0)两点的直线斜率.如图，当过(0，0)的直线与圆相切时取到斜率的最值，故＝＝，＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎【小结】研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．‎ 考点4　在复数集中的方程问题 (1)设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为____________．‎ ‎【解析】因为z＝＝＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，所以复数z的共轭复数为3－i.‎ ‎【答案】3－i ‎(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ ‎【解析】由条件得＝(3，－4)，＝(－1，2)，＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ ‎【答案】1‎ ‎(3)若z·－(z＋1)(z－1)＝|z|，则复数z＝________．‎ ‎【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 则(x＋yi)(x－yi)－[(x＋1)＋yi]·[(x－1)－yi]‎ ‎＝，‎ x2＋y2－(x2－1)－y2＋2yi＝.‎ 根据复数相等的定义得 解得x＝±1，y＝0.‎ ‎【答案】±1‎ ‎【小结】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．‎ ‎【能力提升】‎ 例5对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：‎ ‎①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；‎ ‎②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；‎ ‎③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；‎ ‎④z1*z2＝z2*z1.‎ 则真命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】由题意得(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3＝z1*z3＋z2*z3，故①正确；‎ z1*(z2＋z3)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故②正确；‎ ‎(z1*z2)*z3＝z1z2　z3，而z1*(z2*z3)＝z1z2z3，故③错误；‎ z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，故④不正确．故选B.‎ ‎【答案】B ‎【小结】复数与新定义问题结合，把握好新定义的结构特征是关键．‎ 方 法 总 结　【p72】‎ ‎1．利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法．‎ ‎2．实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数．‎ ‎3．复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，‎ 有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果．‎ 走 进 高 考　　【p72】‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)‎ A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i ‎【解析】i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.‎ ‎【答案】D ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)‎ A．0 B. C．1 D. ‎【解析】z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，‎ ‎∴|z|＝1.‎ ‎【答案】C ‎3．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．‎ ‎【解析】复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2.‎ ‎【答案】2‎