数学文卷·2018届北京市第四中学高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届北京市第四中学高三上学期期中考试（2017

北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）‎ ‎（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎ 1. 已知集合，，那么等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 2. 若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 3. 已知向量a,b满足，，则 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎ 4. 设，，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 5. 已知，，则是的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可以为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 7. 实数x,y满足则的最小值为 ‎ A. 15 B. ‎3 ‎ C. -3 D. -15‎ ‎ 8. 设函数的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称为D上的“m型增函数”，已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，。若为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎ 9． 若函数则等于__________。‎ ‎ 10. 已知双曲线C的标准方程为，则双曲线C的渐近线方程为_______。‎ ‎ 11. 已知函数的部分图象如图所示，则_______，_________。‎ ‎ 12. 已知正数x,y满足，则的最小值是__________。‎ ‎ 13. 如图，在中，，，，D是AC边上一点，且，则___________‎ ‎ 14. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[-M，M]。例如，当，时，，现有如下命题：‎ ‎ ①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；‎ ‎②若函数，则有最大值和最小值；‎ ‎③若函数，的定义域相同，且，，则 ‎④若函数，则有最大值且，‎ 其中的真命题有_____________。（写出所有真命题的序号）‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎ 15. （本小题共13分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，，且是与1的等差中项。‎ ‎ （I）求的通项公式；‎ ‎（II）若数列的前n项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。‎ ‎ 16. （本小题共13分）‎ ‎ 在锐角中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，已知，，的面积 ‎ （I）求边c的值；‎ ‎（II）求sinC的值。‎ ‎ 17. （本小题共13分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎ （I）求函数的最小正周期与单调增区间；‎ ‎（II）求函数在上的最大值与最小值。 ‎ ‎ 18. （本小题共13分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎ （I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；‎ ‎（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。‎ ‎ 19. （本小题共14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （I）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（III）若存在，使得成立，求实数a的取值范围。‎ ‎ 20. （本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上。‎ ‎ （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过椭圆C的左焦点的直线l与椭圆C相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程。‎ ‎【试题答案】‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。‎ ‎ 1. B 2. C 3. C 4. B 5. A 6. C 7. C 8. B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎9. 3 10. 11. ,‎ ‎12. 4 13. -4 14. ①③④‎ 三、解答题共6小题，共80分。‎ ‎ 15. （本小题共13分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，，且是与1的等差中项。‎ ‎ （I）求的通项公式；‎ ‎（II）若数列的前n项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。‎ 解：（I）因为，所以 1分 因为是与1的等差中项，所以，即所以 3分 所以是以1为首项，2为公比的等比数列 所以 6分 ‎（II）由（I）可得：‎ 所以，‎ 所以是以1为首项，为公比的等比数列 9分 所以，数列的前n项和 11分 因为，所以 若，当时，‎ 所以，若对，恒成立，则 所以，实数的最小值为2 13分 ‎ 16. （本小题共13分）‎ ‎ 在锐角中，内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，已知，，的面积 ‎ （I）求边c的值；‎ ‎（II）求sinC的值。‎ 解：（I）由 2分 可得， 4分 ‎（II）由锐角中可得 6分 由余弦定理可得： 8分 有： 9分 由正弦定理： 10分 即 13分 ‎ 17. （本小题共13分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎ （I）求函数的最小正周期与单调增区间；‎ ‎（II）求函数在上的最大值与最小值。 ‎ 解： ‎ ‎2分 ‎（I）的最小正周期为 4分 令，，解得，‎ 所以函数的单调增区间为， 6分 ‎（II）因为，所以，所以 8分 于是，所以 11分 当且仅当时取最小值 当且仅当，即时取最大值 13分 ‎ 18. （本小题共13分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎ （I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；‎ ‎（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由。‎ 解：（I）函数的定义域为， 2分 又曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，‎ 所以，即 5分 ‎（II）当时，，‎ 令 ‎ 7分 当时，，在（）单调递减；‎ 当时，，在（0，1）单调递增。 10分 又，所以在（0，1）（）恒负 因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）。13分 ‎ 19. （本小题共14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （I）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（III）若存在，使得成立，求实数a的取值范围。‎ 解：（1）时，，‎ 所求切线方程为 3分 ‎（2）‎ 当即时，‎ ‎，，此时，在上单调增；‎ 当即时，‎ 时，，上单调减；‎ 时，，在上单调增；‎ 当即时 ‎，，此时，在上单调减； 8分 ‎（3）方法一：当时，在上单调增，的最小值为 当时，在上单调减，在上单调增 的最小值为 ‎，‎ ‎，‎ 当时，在上单调减；的最小值为 ‎ ，‎ 综上， 14分 方法二：‎ 不等式，可化为 ‎，且等号不能同时取，所以，即 因而 令，又 当时，，，‎ 从而，（仅当时取等号），所以在上为增函数，‎ 故的最小值为，所以a的取值范围是 14分 ‎ 20. （本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上。‎ ‎ （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过椭圆C的左焦点的直线l与椭圆C相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程。‎ 解：（1）设椭圆C的方程为，（），由题意可得 又，所以 2分 因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有 解得 4分 所以c=1，故椭圆C的方程为 5分 ‎（II）解法一：‎ ‎ 当直线轴时，计算得到：，‎ ‎ ，不符合题意 6分 ‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：，‎ ‎ 由消去y，得 7分 ‎ 显然成立，设，‎ ‎ 则， 8分 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 9分 ‎ 即 ‎ 又圆O的半径 10分 ‎ 所以 11分 化简，得，即 解得，（舍） 12分 所以，，故圆O的方程为： 14分 ‎（II）解法二：‎ ‎ 设直线l的方程为 ‎ 由，消去x，得 7分 ‎ 因为恒成立，设，‎ ‎ 则， 8分 ‎ 所以 ‎ 9分 ‎ 所以 ‎ 化简得到，即 ‎ 解得，（舍） 11分 ‎ 又圆O的半径为 12分 ‎ 所以，故圆O的方程为： 14分