数学文卷·2018届辽宁省沈阳铁路实验中学高三12月阶段考试（2017

数学文卷·2018届辽宁省沈阳铁路实验中学高三12月阶段考试（2017

沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期阶段考试（12月）试题 高 三 数 学（文）‎ 命题人：裴晓航 校对人：殷裕民 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎2.单项选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。其它试题答在答题卡上。‎ ‎3.考试结束后，考生将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．设集合A={x|≤2x≤}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣，） B．（0，） C．[，1） D．（0，]‎ ‎2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．给出下列三个命题：‎ ‎①“若x2+2x﹣3≠0则x≠‎1”‎为假命题；‎ ‎②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x∈R，2x≤0，‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎4．已知α，β是三个不同平面，α⊥，则“α∥β”是“β⊥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（　　）‎ 第6题图 A．﹣2 B．‎0.0625 ‎C．0.25 D．4‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( ) A． B． C． D．‎ ‎7.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D．‎ ‎8．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（　　） A．﹣2 B．﹣‎1 ‎ C．2 D．1‎ ‎9.已知为内一点，且，，若三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10．偶函数满足,且在时,, 则关于的方程在上解的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数的部分图像如下图所示，若 ‎，则的值为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎12. 已知可导函数的导函数为， ，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d=　　．‎ ‎14. 已知函数， ，如果成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎15. 若非零向量满足，，则向量夹角的大小为___.‎ ‎16．表面积为的球面上有四点， ， ， ，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________.‎ 三、解答题（共6题，总计70分）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．‎ ‎（1）若c=2，求sinC；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值．‎ ‎18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图； ‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； ‎ ‎（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为200吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ ‎ ‎19. 如图1，在直角梯形中， ， ，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎20．已知椭圆右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB的距离为．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若有极大值点，求证：.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.‎ ‎23．（本小题满分10分） [选修：不等式选讲]‎ 已知函数. ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明:.‎ 参考答案 ‎1．设集合A={x|≤2x≤}，B={x|lnx＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣，） B．（0，） C．[，1） D．（0，]‎ ‎1.D．‎ ‎2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.A．‎ ‎3．给出下列三个命题：‎ ‎①“若x2+2x﹣3≠0则x≠‎1”‎为假命题；‎ ‎②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；‎ ‎③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x∈R，2x≤0，‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎ 3.B ‎4．已知α，β是三个不同平面，α⊥，则“α∥β”是“β⊥”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.A ‎5．在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（　　）‎ A．﹣2 B．‎0.0625 ‎C．0. 25 D．4‎ ‎5.C．‎ 第4题图 ‎6.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.D ‎7.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.B ‎8．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎1 ‎ C．2 D．1‎ ‎8.C．‎ ‎9.已知为内一点，且，，若三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.B ‎10．偶函数满足,且在时,, 则关于的方程在上解的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.C ‎11.已知函数的部分图像如下图所示，若，则的值为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎11.A ‎12. 已知可导函数的导函数为， ，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.A ‎13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d=　　．‎ ‎13．2‎ ‎14. 已知函数， ，如果成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎14. ‎ ‎15. 若非零向量满足，，则向量夹角的大小为___.‎ ‎15. ；‎ ‎16．表面积为的球面上有四点， ， ， ，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________.‎ ‎16.6‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．‎ ‎（1）若c=2，求sinC；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值．‎ ‎17解：（1）∵2sinA=acosB，，b=，‎ ‎∴2sinB=cosB，‎ 即tanB=，‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∵c=2，‎ ‎∴sinC==．‎ ‎（2）由（1）得cosB=，‎ ‎∴5=a2+c2﹣ac≥‎2ac﹣ac=ac，‎ 即有ac≤，‎ 可得：△ABC面积的最大值为： =．‎ ‎18.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）标准煤的几组对照数据：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图； ‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； ‎ ‎（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为200吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ ‎ ‎18. （1）详见解析（2）（3）吨 ‎【解析】试题分析：（1）根据表格画出散点图；（2）根据参考公式计算回归直线方程；（3）利用回归直线方程估测生产100吨甲产品的生产能耗即可求出。‎ 试题解析：(1)散点图如图：‎ ‎ ‎ ‎ (2) ，，， ，； ，‎ ‎ 所求的回归方程为； ‎ ‎ (3)，，‎ ‎ 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了 (吨)．‎ ‎19. 如图1，在直角梯形中， ， ，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎19. （1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理以及勾股定理可证明，根据面面垂直的性质定理可得平面；（Ⅱ）先求出，可得，利用可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：由已知可得： ， ，‎ 由余弦定理 从而， ‎ 平面平面，　平面平面 ‎ 平面． ‎ ‎（Ⅱ）由已知，易求．‎ ‎， 设点到平面的距离为，‎ 又可求， ，‎ ‎ 点到平面的距离为．‎ ‎20．已知椭圆右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB的距离为．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．‎ ‎20．解：（1）据题意：椭圆焦点在x轴上，‎ 则A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：，即：x+ay﹣a=0．‎ ‎∴点O到直线AB的距离为：，解得，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得，‎ 此时．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∵直线l与圆O相切，所以，即m2=1+k2，‎ 由，消去y，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，‎ ‎△=36k‎2m2‎﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（1+3k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k≠0，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 则=，‎ 当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．‎ 综上所述，|PQ|最大值为．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若有极大值点，求证：.‎ ‎21．（1）因为………………………………………………………1分 因为函数存在与直线平行的切线，‎ 所以在上有解……………………………………………………………2分 即在上有解，也即在上有解，‎ 所以，得 故所求实数的取值范围是………………………………………………………4分 ‎（2）因为 因为……………………………………………………5分 ‎①当时，单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分 ‎②当或时，令，设的两根为和，‎ 因为为函数的极大值点，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，则………………………………………8分 要证明，只需要证明 因为，，‎ 令，……………………………………………9分 所以，记，，‎ 则 当时，，当时，，‎ 所以，所以……………………………11分 所以在上单调递减，所以，原题得证……………………12分 ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.‎ ‎22．（1）直线的极坐标方程为…………………………………………………2分 曲线的普通方程为，又，‎ 所以曲线的极坐标方程为…………………………5分 ‎（2）设，则有，解得………………7分 设，则有，解得…………………9分 所以……………………………………………………………………10分 ‎23． [选修：不等式选讲]‎ 已知函数. ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）证明:.‎ ‎23．解：(1)当时,,原不等式等价于 或或 解得:或或,所以不等式的解集为或 ．．．．5分 ‎(2)‎ ‎ ．．．．10分