2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年安徽省六安市舒城中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：集合，,‎ ‎，，故选B.‎ 考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.‎ ‎2．已知复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式把复数z计算出来，然后计算z的共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则.故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的计算和共轭复数,意在考查学生对于复数的计算能力和共轭复数的概念,属于简单题.‎ ‎3．是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以 （逆否命题）必要性成立 当，不充分 故是必要不充分条件，答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，属于简单题.‎ ‎4．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分别代入函数解析式，判断出正负即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，；‎ 当时，，根据选项,可得C选项符合.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图像的识别，只需用特殊值法验证即可，属于常考题型.‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴将函数的图象向右平移个单位长度．故选B．‎ 考点：函数的图象变换.‎ ‎6．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（ ）‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ m n A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.‎ ‎【详解】‎ 且，则 即 ‎ ‎ 解得 ‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.‎ ‎7．过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，为线段的中点，又，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 在中，为线段的中点，又，则为等腰直角三角形.‎ ‎ ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.‎ ‎8．的外接圆的圆心为，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎，选C ‎9．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，则椭圆的离心率的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 共6种情况 ‎10．设，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取代入式子，相加计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 取得：‎ 取得：‎ 两式相加得到 ‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理，取特殊值是解题的关键.‎ ‎11．已知函数，若在上有解，则实数 的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数单调性为增. ,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在定义域上单调递增，，则由，‎ 得，‎ ‎，则当时，存在的图象在的图象上方.‎ ‎，，则需满足.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.‎ ‎12．两个半径都是的球和球相切，且均与直二面角的两个半平面都相切，另有一个半径为的小球与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球和球都外切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取三个球心点所在的平面，过点、分别作、，垂足分别为点，过点分别作，，分别得出、以及，然后列出有关的方程，即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 因为三个球都与直二面角的两个半平面相切，‎ 所以与、、共面，‎ 如下图所示，过点、分别作、，‎ 垂足分别为点，过点分别作，，‎ 则，，，，，‎ ‎，所以，，‎ 等式两边平方得，‎ 化简得，由于，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量满足，，的夹角为，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎14．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_____‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算的值，找出周期，根据余数得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依次计算得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ….‎ 周期为3‎ ‎2019除以3余数为0，‎ 故答案为-1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的相关知识，计算数据找到周期规律是解题的关键.‎ ‎15．如果不等式的解集为，且，那么实数的取值范围是 ____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 不等式的解集为，且 画出图像知：‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.‎ ‎16．已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，则，，由，‎ 得，，在△中，，‎ 又在中，，得 故离心率 ‎【点睛】‎ 本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的定义和，，成等比数列代入公式得到方程，解出答案.‎ ‎(2)据(1)把通项公式写出,根据裂项求和的方法求得.‎ ‎【详解】‎ 解：(1) ，，成等比数列,则 或(舍去)‎ 所以 ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了公式法求数列通项式，裂项求和方法求，属于基础题.‎ ‎18．在四棱锥中，，是的中点，面面 ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．‎ ‎∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．‎ 又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，‎ 则四边形ADEF是平行四边形．‎ ‎∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB ‎（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，‎ ‎∴四边形ADCM是平行四边形，‎ ‎∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．‎ 过D作DG⊥AC于G，‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，‎ ‎∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．‎ 过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，‎ ‎∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．‎ 在△ADC中，，连接AE，．‎ 在Rt△GDH中，，‎ ‎∴，‎ 即二面角A﹣PC﹣D的余弦值 ‎ 法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．‎ ‎∴四边形ADCM是平行四边形，‎ ‎∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，‎ ‎∴AB⊥AC．‎ ‎∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．‎ 如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．‎ 可得，．‎ 设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，‎ 解得．‎ 则，，．‎ 设面PDC的一个法向量为，‎ 由，取x0=1，得．‎ 为面PAC的一个法向量，且，‎ 设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，‎ 则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值． ‎ ‎19．某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时元(不足一小时的部分按一小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过三小时．‎ ‎（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两人所付租车费用相同的情况有2,4,6三种，分别算出对应概率，相加得到答案.‎ ‎（2）的可能取值为，分别计算概率，写出分布列计算数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）甲、乙两人所付租车费用相同即为元．都付元的概率为，‎ 都付元的概率为；都付元的概率为，‎ 故所付费用相同的概率为 ‎（2）依题意知，的可能取值为 ‎，‎ ‎；‎ ‎； ‎ ‎，‎ 故的分布列为 ξ ‎4‎ ‎ 6‎ ‎ 8‎ ‎10‎ ‎ 12‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所求数学期望 ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20．已知函数 ‎（1）若在其定义域上是单调增函数，求实数的取值集合；‎ ‎（2）当时，函数在有零点，求的最大值 ‎【答案】（1）；（2）最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.‎ ‎（2）当时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）的定义域为在上恒成立，即 即 实数的取值集合是 ‎（2）时，，即在区间和单调增，在区间上单调减.‎ 在最小值为且 在上没有零点.‎ 要想函数在上有零点，并考虑到在区间上单调且 上单减，只须且，易检验 当时，且时均有，即函数在上有上有零点.‎ 的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.‎ ‎21．已知抛物线的焦点为抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为.‎ ‎（1）证明：为定值；‎ ‎（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）定值为0；（2）S=，S取得最小值4．‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo ‎），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得和，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得的结果为0，进而判断出AB⊥FM．‎ ‎（2）利用（1）的结论，根据的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．‎ 详解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，‎ 显然AB斜率存在且过F（0，1）‎ 设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，‎ 判别式△=16（k2+1）＞0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4.‎ 于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，‎ 则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，‎ 联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==﹣1，即M（，﹣1）,‎ 从而=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）‎ ‎=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．‎ ‎∵，‎ ‎∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，‎ 而4y1=x12，4y2=x22，‎ 则x22=，x12=4λ，‎ ‎|FM|=‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=．‎ 于是S=|AB||FM|=，‎ 由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．‎ 点睛：本题求S的最值，运用了函数的方法，这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧.所以本题先求出S=，再求函数的定义域，再利用基本不等式求函数的最值.‎ ‎22．在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为（t为参数，），以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．‎ 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ 已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接消参得到曲线C1的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线C2的直角坐标方程；（2）把曲线C1的标准参数方程代入曲线C2的直角坐标方程利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ ‎【详解】‎ C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，‎ C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，‎ 两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．‎ ‎(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，‎ 得＋1－4a＝0，由Δ＝，得a>0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，‎ 当t1＝2t2时，解得a＝；‎ 当t1＝－2t2时，解得a＝，‎ 综上，或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义解题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）等价转化为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，再解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ ‎①当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎③当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ 综上所述，不等式的解集是；‎ ‎（2）由题意知，对任意的，恒成立，‎ 即对任意的，恒成立，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴对任意的，恒成立，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式的应用和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎