宁夏银川市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏银川市第二中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

银川二中2019-2020学年第一学期高二年级期末考试 数学（理科）试题 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．方程表示双曲线,则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．下列函数中，在区间 内单调递减的是(　　)‎ A．y＝－x　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x ‎5．已知三点不共线，是平面外一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果 ，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数 的极值点．以上推理中 (　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎7．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）‎ A． B. ‎ C. D. ‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（ 在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.函数的图像大致为（ ）‎ ‎12．设函数，函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．）‎ ‎13．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为__________ ． ‎ ‎14．已知向量，, ，且，则_________.‎ ‎15．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________‎ ‎16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ______．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知曲 ‎（Ⅰ）求其长轴长，焦点坐标，离心率；‎ ‎（Ⅱ）求与已知曲线焦点相同且离心率为的双曲线方程；‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，当时，函数有极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在上的值域.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线DQ与平面PQC所成角的正弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，已知点的坐标为.‎ ‎（Ⅰ）当与轴垂直时，求点A、B的坐标及的值 ‎(Ⅱ）设为坐标原点，证明：.‎ ‎.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． （ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．方程表示双曲线,则实数的取值范围是 （ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，若，则（ B ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．下列函数中，在区间 内单调递减的是(　A　)‎ A. y＝－x　　 　B. y＝x2－x C. y＝ln x－x D. y＝ex－x ‎5．已知三点不共线，是平面外一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（ D ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果 ，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中 (　A　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎7．在我校语文学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（ B ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ C ）A． B. ‎ C. D. ‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点（ 在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，若，则的面积为（ A ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.函数的图像大致为（ B ）‎ ‎12．设函数，函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（ D ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．）‎ ‎13．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ． ‎ ‎14．已知向量，, ，且，则____3___.‎ ‎15．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是_‎ ‎16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ‎____．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知曲 ‎（Ⅰ）求其长轴长，焦点坐标，离心率；‎ ‎（Ⅱ）求与已知曲线相同焦点且离心率为的双曲线方程；‎ ‎【解析】椭圆的标准方程为，∴a=9，b=3，c=6‎ ‎（Ⅰ）由题意易得：长轴长2a=18，焦点坐标、离心率．‎ ‎（Ⅱ）设双曲线方程为：‎ 又双曲线与椭圆共焦点且离心率为 ‎∴，解得：‎ ‎∴双曲线方程为：‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，当时，函数有极小值.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在上的值域.‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ 由题意得，解得，‎ ‎，经检验为的极小值点，符合题意.‎ ‎（Ⅱ）由（1）得 当时，；当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为.‎ 因为，，所以的最大值为.‎ 所以在上的值域为. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得． 当时，，则① 又，则②．‎ 由①②得，解得，故．‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上任一点，‎ 由，知曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 令得，从而得切线与直线的交点坐标为；‎ 令得，从而得切线与直线的交点坐标为，‎ 所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为．‎ 故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的 面积为定值，此定值为6．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎（Ⅱ）求直线DQ与平面PQC所成角的正弦值.‎ ‎【解析】（1）如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.‎ 依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D（0，0，0），‎ 则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），（3分）‎ 所以，，‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，‎ 又，故PQ⊥平面DCQ，‎ 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.（6分）‎ ‎（Ⅱ）依题意，，， ‎ 设是平面PQC的法向量，‎ 则，即，取，则，，‎ 故平面PQC的一个法向量是=（1，1，2），（9分）‎ 又=（1，1，0），‎ 所以，‎ 设直线DQ与平面PQC所成的角为，‎ 则sin==.‎ 故直线DQ与平面PQC所成角的正弦值为.（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，已知点的坐标为.‎ ‎（Ⅰ）当与轴垂直时，求点A、B的坐标及的值 ‎(Ⅱ）设为坐标原点，证明：.‎ 解：（Ⅰ）由已知得，l的方程为x=1.‎ 由已知可得，点A或B.=‎ ‎(Ⅱ）当l与x轴重合时，.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，‎ 则，直线MA，MB的斜率之和为.‎ 由得.‎ 将代入得 ‎.‎ 所以， .‎ 则.‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.‎ 解析：（Ⅰ）的定义域为，‎ 若则所以单调递增. ‎ 若，则当时，当时，‎ 所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 当时，无最大值；‎ 当时，在取得最大值，‎ 最大值为. ‎ 因此 等价于.‎ ‎ 令，‎ 则在单调递增，.‎ 于是，当时；‎ 当时，，因此，的取值范围是.‎