数学理卷·2018届山东省青岛市城阳区高三上学期学分认定考试（期末）（2018

数学理卷·2018届山东省青岛市城阳区高三上学期学分认定考试（期末）（2018

第一学期学分认定考试 高三数学(理)试题 ‎2018．01‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． ‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎3．填空题和解答题的作答：第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ 公式：1．线性回归方程的系数公式 ‎2．独立性检验统计量 ‎3．临界值表：‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．z为虚数，i为虚数单位，若 A． B． C． D． ‎2．已知集合 A． B． C． D． ‎3．已知，则 A． B． C． D． ‎4．阅读右侧框图，输出的结果为 ‎ A． B． C． D． ‎5．在平面直角坐标系中，动点，则z的最大值为 A．0 B． C．1 D． ‎6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为3，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 A．2 B．3 C． D． ‎7．已知P是所在平面内一点，且满足，现将一粒黄豆随机撤在内，则黄豆落在内的概率是 A． B． C． D． ‎8．三棱锥平面ABC，底面,‎ 的外接球的表面积为 A． B． C． D． ‎9．已知函数对称中心和最近的对称轴之间的距离为，将图象向左平移个单位，所得新函数的解析式为 A. B. ‎ C. D. ‎10．抛物线的焦点恰好是双曲线 的实轴端点，又双曲线的离心率为2，则实数n的值为 A．1 B． C． D． ‎11．已知角C是中的锐角，且，则角C的值为 A． B． C． D． ‎12．已知集合，‎ 若，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量的夹角等于___________．‎ ‎14．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题：‎ ‎①若；②若的必要条件；‎ ‎③若．‎ 其中错误命题的序号是______________．(把所有错误命题的序号都填上)‎ ‎15．已知函数，则实数m的取值范围是______.‎ ‎16．已知，则二项式展开式中的常数项为________． ‎ 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．‎ 第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．‎ ‎17．(本小题满分12分)已知Sn是数列的前n项和，，其中.‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)数列为等差数列，为其前n项和，的最值．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 某校成立了数学奥赛集训队，男女同学共20人，对男女队员历次模拟平均成绩分布情况统计如下表：‎ ‎(I)历次模拟平均成绩在70分以上的认为是“具有潜力”的选手，否则认为“不具潜力”‎ 请运用独立性检验的知识，对男女两个分类，针对是否具有潜力填写下列4*4列联表，请计算K2的观测值，并对照以下临界值表，分析说明是否有95％的把握认为是否具有潜力与性别有关．‎ ‎4×4列联表 ‎(Ⅱ)教练计划从模拟平均成绩在的所有队员中抽出3名同学去参加比赛，‎ ‎ (i)记3名同学中男女生都有为事件A，求；‎ ‎ (ii)设其中的女生数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2BC=4，平面PAD与平面PBC所成的二面角的平面角为，且，M是BC的中点．‎ ‎(I)求证：平面平面PDM；‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥的体积．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知平面直角坐标系内，A，B两点分别在x轴和y轴上运动，线段AB的长为定值2，‎ 是动点，且；直线l为过定点的动直线．‎ ‎(I)求动点P的轨迹C的标准方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线l与轨迹C交于M、N两点，，求面积S的最大值，并求出此时直线的方程． ‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知 ‎(I)分析判断函数在定义域上的单调性情况；‎ ‎(II)若，证明：方程上没有零根．‎ ‎(其中e为常数，e约为2.7182…)‎ 请考生在第22，23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑． ‎ ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分)‎ 在以O为原点，以x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线的方程为：；在平面直角坐标系，曲线的方程为(其中为参数)‎ ‎(I)把曲线化为普通方程，说明所表示的曲线是什么；把点A用极坐标表示出来；‎ ‎(Ⅱ)求点A到曲线上点的最小距离；判断和的位置关系，如相交，求出相交弦的长．‎ ‎23．【选修4—5：不等式选讲】(本小题满分10分)‎ 已知函数 ‎(I)设，解不等式；‎ ‎(Ⅱ)设，若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎ 第一学期学分认定考试 ‎ 高三数学（理）参考答案及评分标准 2018.01 ‎ 公式: 1.线性回归方程的系数公式 ‎2. 独立性检验统计量,其中 ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎3. 临界值表:‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1. BDCBA 6-10ACDAD 11-12 BＣ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． ‎ ‎13． 14．①②③ 15. 16． ‎ 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤．‎ ‎ 第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求选择其一解答．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) 由 ‎（i）当时，‎ ‎ (ii)当时，（*）‎ 其中，时，也满足（*）式 所以，对任意，都有……………………6分 ‎(Ⅱ)设等差数列的首项为，公差为，，‎ 由等差数列的通项公式得，，解得 所以………………………9分 可以看出随着的增大而减小, ‎ 令，解得,‎ 所以有最大值，且（或）为前项和的最大值 ‎…………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ) 列联表 具有潜力 不具潜力 总计 男生 女生 总计 ‎……………………………………………3分 由公式的观测值 计算结果约为……………………………5分 无关的可能性至少,‎ 所以没有的把握认为是否具有潜力与与性别有关……………………6分 ‎(Ⅱ) 模拟平均成绩在的所有队员共名,其中男生名,女生名 ‎(i) 从中任意抽出名同学的方法总数为种 名同学去参加比赛男女生都有的方法为 由等可能性事件的概率,‎ 所以名同学中男女生都有的事件的概率……………………8分 ‎ (ii) 女生数的值可为 所以的分布列为 的数学期望为………………………12分 ‎19．（本小题满分12分） ‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)过作直线,则 平面,平面 所以是平面与平面的公共交线……1分 由 易得 所以即为平面与平面所成的二面角的平面角 所以……………………3分(其他方法,如向量求解,参照给分即可)‎ 中 所以 所以……………………………4分 以为坐标原点,分别以所在射线为轴,建立 空间直角坐标系如右图所示 ‎,为中点 可得 所以 (只设平面直角坐标也可以)‎ 所以 所以在底面内,直线………………………6分 因为(平面)‎ 所以可得:平面 又平面 根据面面垂直的判定定理 所以平面平面……………………7分 ‎(Ⅱ) 三棱锥的体积等于三棱锥的体积 ‎…………10分 平面 所以………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解: (Ⅰ)设 由题意, (*)‎ 因为,即 所以,所以(1)‎ 将(1)代入(*)式可得:‎ ‎,即 所以动点的轨迹的标准方程为………………………5分 ‎(Ⅱ) （i）直线斜率不存在时,直线为 此时易求得(*)‎ ‎（ii）当直线斜率存在时,设斜率为,过,点在椭圆内,直线和椭圆恒有交点 直线为 联立直线和椭圆的方程, ‎ 整理得到:..............6分 得:‎ 所以(**)……7分 令,得,则 代入(*)式,得:‎ ‎,为关于的二次函数 而,根据二次函数的图象性质,对称轴为,开口朝下,可得 所以……………………10分 对比(*)式,可知,当直线斜率不存在时有最大值 所以此时 即: 的面积的最大值为,此时直线为…………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎(Ⅰ)解：函数的定义域为 又 ‎………………………………1分 ‎(1)当时则 可以看出，当时，；当时，；‎ 所以，时，函数在区间上单调递减；在上单调递增………2分 ‎(2)当时，‎ ‎(i)若，则，，当时，；当时，‎ ‎ 所以得时，在上单调递增；在上单调递减；‎ ‎（ii）若,则，解不等式，得或 ‎ 解不等式，得 所以得：时，函数在区间上单调递减；在区间上分别单增.‎ ‎(iii)当时，，在定义域上，总有 所以此时，在定义域上，函数恒为单调递增函数 ‎（iv）当时，，解不等式，得或；‎ ‎ 解不等式，得；‎ 所以，当时，得函数在和上分别单调增；在单调递减；‎ ‎………………………………………………………5分 综上，当时，在上单调递增；在上单调递减；‎ ‎ 当时，函数在区间上单调递减；在上单调递增；‎ ‎ 当时，函数在上单调递减；在上分别单增.‎ 当时，在定义域上，函数恒为单调递增函数 ‎ 当时，函数在和上分别单调增；在单调递减.‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 证明： 因为，所以 由(Ⅰ)得，此时函数在上单调递减；在上分别单增.‎ 列出在上单调性情况分析如下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 由图可以看出，，函数单调递增；时，函数单调递减；‎ 当时，函数取得极大值，也是最大值，………………………9分 因为，，所以；又 所以恒成立 由此，在上，恒成立…………11分 根据连续函数根的存在性，方程在上，不可能有根存在…………12分 ‎ ‎ 请考生在第22,23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目. 如果都做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡时将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 解: (Ⅰ) 曲线的方程为:‎ 展开,即,‎ 由可得 ‎,也即 所以曲线的方程为 为过的直线…………………3分 设 因为点,得 所以,所以点的极坐标为………………………5分 ‎(Ⅱ) 曲线的方程为 整理得 表示以为圆心,以为半径的圆 点到圆心的距离为 所以点在圆外,点到圆上的点的距离有最小值 且……………………………7分 所以曲线的方程为 由点到直线的距离公式,计算出圆心到直线的距离为…………………………8分 所以直线与圆相交,设相交于 所以 综上, 点到圆上的点的距离最小值为;‎ ‎ 直线与圆相交, 相交弦长为………………………10分 ‎23. [选修4-5:不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 解: (Ⅰ)时, 不等式即 ‎(i)如果,则,‎ 原不等式可化为,即,‎ 所以此时解集为 ‎(ii) 如果,则,‎ 原不等式可化为,得 所以此时解集为 ‎(iii) 如果,,‎ 原不等式可化为,得 所以此时解集为 综合(i)(ii)(iii)可得：解集为 ‎.................................................................5分 ‎(Ⅱ)时， ‎ 不等式即：‎ 也即：‎ 设 其中等号当且仅当成立 由此，对任意实数，有最大值，…………7分 恒成立 所以，即 解这个一元二次不等式，得：或 综上，,使不等式对任意实数恒成立的实数的取值范围或………………………………10分