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文档介绍
数学卷·2018届广东省东莞市麻涌中学高二上学期第一次月考数学试卷 (解析版)
2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二(上)第一次月考数学试卷 一.选择题.(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.) 1.数列的通项公式an=( ) A.an= B.an= C. D. 2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是( ) A.n B.2n C.3n﹣3 D.3n+3 3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=4,b=4,则B=( ) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3+a4=9,那么a7=( ) A.21 B.28 C.8 D.14 5.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且,则S△ABC等于( ) A. B. C. D. 6.设数列{an}是等差数列,a2=﹣6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( ) A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5 7.在△ABC中,若,,B=120°,则a等于( ) A. B.2 C. D. 8.等于( ) A. B. C. D. 9.在△ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.2::1 D.1::2 10.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( ) A.10m B.20m C.20m D.40m 12.“若f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有”设f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是( ) A. B. C. D. 二、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.) 13.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= . 14.已知△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,AC=,则△ABC的面积为 . 15.数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2,则an= . 16.在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第 一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围,若以an表示第n个图案的花盆总数,则a3= ;an= (答案用n表示). 三、解答题.(本大题共6小题,满分70分.) 17.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,解三角形. 18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ABC的周长; (Ⅱ)求cos(A﹣C)的值. 20.已知数列{an}中,已知a1=1,, (1)求证数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 21.为了考核某特警部队的应急反应能力,拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处.通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上,B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上(如图),测得C、B相距31千米,D、B相距20千米,C、D相距21千米,求A、D之间的距离. 22.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且满足a2+c2﹣b2=ac (1)求角B的大小; (2)若,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积. 2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题.(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.) 1.数列的通项公式an=( ) A.an= B.an= C. D. 【考点】数列的函数特性. 【分析】根据数列项的规律即可得到结论. 【解答】解:数列即为,,,,,…, ∴通项公式an=, 故选:C 2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是( ) A.n B.2n C.3n﹣3 D.3n+3 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】数列{an}是首项为0,公差为3的等差数列,由此能求出结果. 【解答】解:∵数列{an}满足an+1=an+3,a1=0, ∴数列{an}是首项为0,公差为3的等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d=3n﹣3. 故选:C. 3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=4,b=4 ,则B=( ) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 【考点】解三角形;正弦定理. 【分析】由正弦定理可得sinB=,再由由大边对大角可得B的值. 【解答】解:由正弦定理可得 =,∴sinB=. 再由大边对大角可得B=45°. 故选C. 4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3+a4=9,那么a7=( ) A.21 B.28 C.8 D.14 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设出等差数列的公差,由给出的条件联立求出d的值,然后代入等差数列的通项公式求a7. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为d, 由a3+a4=9, 得:a3+a4=(a1+2d)+(a1+3d)=9, 即2a1+5d=9①, 又a1=2,代入①解得d=1. 所以,a7=a1+6d=2+6×1=8. 故选C. 5.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且,则S△ABC等于( ) A. B. C. D. 【考点】正弦定理. 【分析】由角A,B,C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B,再由三角形面积公式即可运算求得结果. 【解答】解:∵在△ABC中,由角A,B,C依次成等差数列,可得A+C=2B, 再由三角形内角和公式求得B=. ∴由于a=1,c=, ∴S△ABC=acsinB==. 故选:D. 6.设数列{an}是等差数列,a2=﹣6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( ) A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5 【考点】等差数列的性质. 【分析】先由通项公式求a1,d,再用前n项和公式验证. 【解答】解:∵a2=﹣6,a8=6 ∴a1+d=﹣6,a1+7d=6 得a1=﹣8,d=2 ∴S4=S5 故选B 7.在△ABC中,若,,B=120°,则a等于( ) A. B.2 C. D. 【考点】余弦定理. 【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即 6=a2+2﹣2a•(﹣),由此求得b的值. 【解答】解:在△ABC中,若,,B=120°, 则由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即 6=a2+2﹣2a•(﹣), 解得 a=,或a=﹣2(舍去), 故选:D. 8. 等于( ) A. B. C. D. 【考点】数列递推式. 【分析】由题意可得,,即 且,从而可求an,然后把n=4代入可求 【解答】解:由题意可得, 即∵ ∴数列是以为首项,以3为公差的等差数列 ∴∴ 故选:B 9.在△ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C.2::1 D.1::2 【考点】正弦定理. 【分析】根据三角形内角和定理,结合A:B:C=1:2:3,算出A=,B=且C=,从而得出△ABC是直角三角形.由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=,即可得到a:b:c的值. 【解答】解:∵在△ABC中,A:B:C=1:2:3, ∴设A=x,则B=2x,C=3x, 由A+B+C=π,可得x+2x+3x=π,解之得x= ∴A=,B=且C=,可得△ABC是直角三角形 ∵sinA==,∴c=2a,得b== 因此,a:b:c=1::2 故选:D 10.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【考点】三角形的形状判断. 【分析】利用正弦定理化简已知的等式,再根据二倍角的正弦函数公式变形后,得到sin2A=sin2B,由A和B都为三角形的内角,可得A=B或A+B=90°,从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形. 【解答】解:由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得:sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B, ∴sin2A=sin2B,又A和B都为三角形的内角, ∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=, 则△ABC为等腰或直角三角形. 故选D 11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( ) A.10m B.20m C.20m D.40m 【考点】已知三角函数模型的应用问题. 【分析】设出AB=x,进而根据题意可表示出BD,DC,进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x. 【解答】解:由题可设AB=x,则, 在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40,由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB 即:()2=(40)2+x2﹣2×40•x•cos120° 整理得:x2﹣20x﹣800=0 解得x=40或x=﹣20(舍) 所以,所求塔高为40米. 故选D. 12.“若f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有”设f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是( ) A. B. C. D. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】运用是凸函数的定义,可得 [f(A)+f(B)+f(C)]≤f(),计算即可得到所求最大值,及等号成立的条件. 【解答】解:由f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数, 可得在△ABC中, [f(A)+f(B)+f(C)]≤f(), 即有(sinA+sinB+sinC)≤sin, 即sinA+sinB+sinC≤3sin=. 当且仅当A=B=C=时,取得等号. 则sinA+sinB+sinC的最大值是. 故选:C. 二、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.) 13.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= 15 . 【考点】等差数列的前n项和. 【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组,求出首项与公差,由此能求出a9. 【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24, ∴, 解得a1=﹣1,d=2, ∴a9=﹣1+8×2=15. 故答案为:15. 14.已知△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,AC=,则△ABC的面积为 6 . 【考点】三角形中的几何计算;解三角形. 【分析】直接利用三角形的面积公式,运算求得结果. 【解答】解:△ABC的面积为==6, 故答案为 6. 15.数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2,则an= ﹣2n+4 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由给出的数列的前n项和,分类求出n=1时的值及n≥2时的表达式,验证n=1后得数列的通项公式. 【解答】解:由数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2, 当n=1时,; 当n≥2时, =﹣2n+4. 此式对于n=1成立. ∴an=﹣2n+4. 故答案为﹣2n+4. 16.在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第 一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围,若以an表示第n个图案的花盆总数,则a3= 19 ;an= 3n2﹣3n+1 (答案用n表示). 【考点】归纳推理. 【分析】观察图形很容易看出第一个图象由一盆花,第二个图形比第一个图形多放了6盆,第三个图形比第二个图形多放了2×6盆,可得后面图形花盆数前面图形花盆数存在关系,an﹣an﹣1=6×(n﹣1),利用累加法可得答案. 【解答】解:由图知a1=1 a2﹣a1=6=6×(2﹣1), a3﹣a2=12=6×(3﹣1), … an﹣an﹣1=6×(n﹣1), ∴an=1+6+12+…+6×(n﹣1)=1+=3n2﹣3n+1 ∴a3=19 故答案为 19,3n2﹣3n+1 三、解答题.(本大题共6小题,满分70分.) 17.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,解三角形. 【考点】正弦定理. 【分析】由sinA,a,b的值,利用正弦定理求出sinB的值,确定出B的度数,求出C的度数,再由sinC,a,sinA的值,利用正弦定理即可求出c的值. 【解答】解:∵在△ABC中,A=60°,a=4,b=4, ∴由正弦定理=,得sinB===, ∵a>b, ∴A>B,而A=60°, ∴B为锐角,∴B=45°, ∴C=180°﹣(A+B)=75°, 即sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=, 由正弦定理=得:c===2(+). 18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和. 【分析】(1)利用等差数列的通项公式,根据a10和a20的值建立方程组,求得a1和d,则通项an可得. (2)把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n. 【解答】解:(Ⅰ)由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. (Ⅱ)由得 方程. 解得n=11或n=﹣22(舍去). 19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC= (Ⅰ)求△ABC的周长; (Ⅱ)求cos(A﹣C)的值. 【考点】余弦定理;两角和与差的余弦函数. 【分析】(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长; (II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值. 【解答】解:(I)∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4, ∴c=2, ∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5. (II)∵cosC=,∴sinC===. ∴sinA===. ∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA==, ∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=. 20.已知数列{an}中,已知a1=1,, (1)求证数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【考点】数列递推式. 【分析】(1)利用已知条件转化求解数列是等差数列; (2)利用(1)求出通项公式,然后求解数列{an}的通项公式. 【解答】解:(1)数列{an}中,已知a1=1,, 可得an+1+2an+1an=an, 可得=2. 所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)可得=1+2(n﹣1)=2n﹣1, ∴数列{an}的通项公式:an=. 21.为了考核某特警部队的应急反应能力,拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处.通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上,B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上(如图),测得C、B相距31千米,D、B相距20千米,C、D相距21千米,求A、D之间的距离. 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】由图形求出∠CAD的度数,以及BC,BD及CD的长,利用余弦定理求出cosB的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,由sinA,sinB及BC的长,利用正弦定理求出AC的长,由BC,AC及cosA的值,利用余弦定理求出AB的长,由AB﹣BD即可求出AD的长. 【解答】解:如图,易知∠CAD=25°+35°=60°,BC=31,BD=20,CD=21, 由余弦定理得:cosB===, ∴sinB==, 又在△ABC中,由正弦定理得:AC===24, 由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA,即312=AB2+242﹣2×AB×24cos60°, ∴AB2﹣24AB﹣385=0, 解得:AB=35或AB=﹣11(舍去), ∴AD=AB﹣BD=35﹣20=15(km). 22.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且满足a2+c2﹣b2=ac (1)求角B的大小; (2)若,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积. 【考点】余弦定理;三角形的面积公式. 【分析】(1)利用余弦定理表示出cosB,将已知等式变形后代入求出cosB的值,由B为三角形内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数; (2)利用正弦定理化简已知等式,求出cosA的值,由A为三角形内角,利用利用特殊角的三角函数值求出A的度数,确定出C的度数,设|AC|=m,则|BC|=m,|AB|=m,|CM|=m,利用余弦定理列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,确定出|CA|与|CB|,即可确定出三角形ABC的面积. 【解答】解:(1)∵a2+c2﹣b2=ac, ∴cosB===, ∵B为三角形内角, ∴B=; (2)由正弦定理: ==, 将2bcosA=(ccosA+acosC)化简得:2sinBcosA=(sinCcosA+sinAcosC),即2sinBcosA=sinB, ∴cosA=, ∴A=,C=, 设|AC|=m,则|BC|=m,|AB|=m,|CM|=m, 由余弦定理可知:|AM|2=|CM|2+|AC|2﹣2|CM||AC|cos,即7=m2+m2+m, 解得:m=2, 则S△ABC=|CA|•|CB|•sin=.查看更多