数学卷·2018届广东省东莞市麻涌中学高二上学期第一次月考数学试卷 (解析版)

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数学卷·2018届广东省东莞市麻涌中学高二上学期第一次月考数学试卷 (解析版)

‎2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二(上)第一次月考数学试卷 ‎ ‎ 一.选择题.(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)‎ ‎1.数列的通项公式an=(  )‎ A.an= B.an= C. D.‎ ‎2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是(  )‎ A.n B.2n C.3n﹣3 D.3n+3‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=4,b=4,则B=(  )‎ A.45°或135° B.135°‎ C.45° D.以上答案都不对 ‎4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3+a4=9,那么a7=(  )‎ A.21 B.28 C.8 D.14‎ ‎5.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且,则S△ABC等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设数列{an}是等差数列,a2=﹣6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则(  )‎ A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5‎ ‎7.在△ABC中,若,,B=120°,则a等于(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎8.等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.在△ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于(  )‎ A.1:2:3 B.3:2:1 C.2::1 D.1::2‎ ‎10.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状是(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 ‎11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为(  )‎ A.10m B.20m C.20m D.40m ‎12.“若f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有”设f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)‎ ‎13.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=  .‎ ‎14.已知△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,AC=,则△ABC的面积为  .‎ ‎15.数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2,则an=  .‎ ‎16.在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第 一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围,若以an表示第n个图案的花盆总数,则a3=  ;an=  (答案用n表示).‎ ‎ ‎ 三、解答题.(本大题共6小题,满分70分.)‎ ‎17.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,解三角形.‎ ‎18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.‎ ‎(Ⅰ)求通项an;‎ ‎(Ⅱ)若Sn=242,求n.‎ ‎19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=‎ ‎(Ⅰ)求△ABC的周长;‎ ‎(Ⅱ)求cos(A﹣C)的值.‎ ‎20.已知数列{an}中,已知a1=1,,‎ ‎(1)求证数列是等差数列; ‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎21.为了考核某特警部队的应急反应能力,拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处.通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上,B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上(如图),测得C、B相距31千米,D、B相距20千米,C、D相距21千米,求A、D之间的距离.‎ ‎22.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且满足a2+c2﹣b2=ac ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年广东省东莞市麻涌中学高二(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题.(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.)‎ ‎1.数列的通项公式an=(  )‎ A.an= B.an= C. D.‎ ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】根据数列项的规律即可得到结论.‎ ‎【解答】解:数列即为,,,,,…,‎ ‎∴通项公式an=,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是(  )‎ A.n B.2n C.3n﹣3 D.3n+3‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】数列{an}是首项为0,公差为3的等差数列,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,‎ ‎∴数列{an}是首项为0,公差为3的等差数列,‎ ‎∴an=a1+(n﹣1)d=3n﹣3.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若A=60°,a=4,b=4‎ ‎,则B=(  )‎ A.45°或135° B.135°‎ C.45° D.以上答案都不对 ‎【考点】解三角形;正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理可得sinB=,再由由大边对大角可得B的值.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可得 =,∴sinB=.‎ 再由大边对大角可得B=45°.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3+a4=9,那么a7=(  )‎ A.21 B.28 C.8 D.14‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】设出等差数列的公差,由给出的条件联立求出d的值,然后代入等差数列的通项公式求a7.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,‎ 由a3+a4=9,‎ 得:a3+a4=(a1+2d)+(a1+3d)=9,‎ 即2a1+5d=9①,‎ 又a1=2,代入①解得d=1.‎ 所以,a7=a1+6d=2+6×1=8.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎5.△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且,则S△ABC等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由角A,B,C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B,再由三角形面积公式即可运算求得结果.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,由角A,B,C依次成等差数列,可得A+C=2B,‎ 再由三角形内角和公式求得B=.‎ ‎∴由于a=1,c=,‎ ‎∴S△ABC=acsinB==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.设数列{an}是等差数列,a2=﹣6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则(  )‎ A.S4<S5 B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】先由通项公式求a1,d,再用前n项和公式验证.‎ ‎【解答】解:∵a2=﹣6,a8=6‎ ‎∴a1+d=﹣6,a1+7d=6‎ 得a1=﹣8,d=2‎ ‎∴S4=S5‎ 故选B ‎ ‎ ‎7.在△ABC中,若,,B=120°,则a等于(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即 6=a2+2﹣2a•(﹣),由此求得b的值.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,若,,B=120°,‎ 则由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac•cosB,即 6=a2+2﹣2a•(﹣),‎ 解得 a=,或a=﹣2(舍去),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ 等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由题意可得,,即 且,从而可求an,然后把n=4代入可求 ‎【解答】解:由题意可得,‎ 即∵‎ ‎∴数列是以为首项,以3为公差的等差数列 ‎∴∴‎ 故选:B ‎ ‎ ‎9.在△ABC中,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于(  )‎ A.1:2:3 B.3:2:1 C.2::1 D.1::2‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理,结合A:B:C=1:2:3,算出A=,B=且C=,从而得出△ABC是直角三角形.由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=,即可得到a:b:c的值.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,A:B:C=1:2:3,‎ ‎∴设A=x,则B=2x,C=3x,‎ 由A+B+C=π,可得x+2x+3x=π,解之得x=‎ ‎∴A=,B=且C=,可得△ABC是直角三角形 ‎∵sinA==,∴c=2a,得b==‎ 因此,a:b:c=1::2‎ 故选:D ‎ ‎ ‎10.在△ABC中,若acosA=bcosB,则△ABC的形状是(  )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断.‎ ‎【分析】利用正弦定理化简已知的等式,再根据二倍角的正弦函数公式变形后,得到sin2A=sin2B,由A和B都为三角形的内角,可得A=B或A+B=90°,从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.‎ ‎【解答】解:由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得:sinAcosA=sinBcosB,‎ ‎∴sin2A=sin2B,‎ ‎∴sin2A=sin2B,又A和B都为三角形的内角,‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,‎ 则△ABC为等腰或直角三角形.‎ 故选D ‎ ‎ ‎11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为(  )‎ A.10m B.20m C.20m D.40m ‎【考点】已知三角函数模型的应用问题.‎ ‎【分析】设出AB=x,进而根据题意可表示出BD,DC,进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x.‎ ‎【解答】解:由题可设AB=x,则,‎ 在△DBC中,∠BCD=120°,CD=40,由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB 即:()2=(40)2+x2﹣2×40•x•cos120°‎ 整理得:x2﹣20x﹣800=0‎ 解得x=40或x=﹣20(舍)‎ 所以,所求塔高为40米.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.“若f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有”设f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】运用是凸函数的定义,可得 [f(A)+f(B)+f(C)]≤f(),计算即可得到所求最大值,及等号成立的条件.‎ ‎【解答】解:由f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,‎ 可得在△ABC中, [f(A)+f(B)+f(C)]≤f(),‎ 即有(sinA+sinB+sinC)≤sin,‎ 即sinA+sinB+sinC≤3sin=.‎ 当且仅当A=B=C=时,取得等号.‎ 则sinA+sinB+sinC的最大值是.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题.(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)‎ ‎13.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= 15 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组,求出首项与公差,由此能求出a9.‎ ‎【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,‎ ‎∴,‎ 解得a1=﹣1,d=2,‎ ‎∴a9=﹣1+8×2=15.‎ 故答案为:15.‎ ‎ ‎ ‎14.已知△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,AC=,则△ABC的面积为 6 .‎ ‎【考点】三角形中的几何计算;解三角形.‎ ‎【分析】直接利用三角形的面积公式,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:△ABC的面积为==6,‎ 故答案为 6.‎ ‎ ‎ ‎15.数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2,则an= ﹣2n+4 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由给出的数列的前n项和,分类求出n=1时的值及n≥2时的表达式,验证n=1后得数列的通项公式.‎ ‎【解答】解:由数列{an}的前n项和Sn=3n﹣n2,‎ 当n=1时,;‎ 当n≥2时,‎ ‎ =﹣2n+4.‎ 此式对于n=1成立.‎ ‎∴an=﹣2n+4.‎ 故答案为﹣2n+4.‎ ‎ ‎ ‎16.在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第 一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围,若以an表示第n个图案的花盆总数,则a3= 19 ;an= 3n2﹣3n+1 (答案用n表示).‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎【分析】观察图形很容易看出第一个图象由一盆花,第二个图形比第一个图形多放了6盆,第三个图形比第二个图形多放了2×6盆,可得后面图形花盆数前面图形花盆数存在关系,an﹣an﹣1=6×(n﹣1),利用累加法可得答案.‎ ‎【解答】解:由图知a1=1‎ a2﹣a1=6=6×(2﹣1),‎ a3﹣a2=12=6×(3﹣1),‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=6×(n﹣1),‎ ‎∴an=1+6+12+…+6×(n﹣1)=1+=3n2﹣3n+1‎ ‎∴a3=19‎ 故答案为 19,3n2﹣3n+1‎ ‎ ‎ 三、解答题.(本大题共6小题,满分70分.)‎ ‎17.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,解三角形.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由sinA,a,b的值,利用正弦定理求出sinB的值,确定出B的度数,求出C的度数,再由sinC,a,sinA的值,利用正弦定理即可求出c的值.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,‎ ‎∴由正弦定理=,得sinB===,‎ ‎∵a>b,‎ ‎∴A>B,而A=60°,‎ ‎∴B为锐角,∴B=45°,‎ ‎∴C=180°﹣(A+B)=75°,‎ 即sinC=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=,‎ 由正弦定理=得:c===2(+).‎ ‎ ‎ ‎18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.‎ ‎(Ⅰ)求通项an;‎ ‎(Ⅱ)若Sn=242,求n.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】(1)利用等差数列的通项公式,根据a10和a20的值建立方程组,求得a1和d,则通项an可得.‎ ‎(2)把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.‎ ‎(Ⅱ)由得 方程.‎ 解得n=11或n=﹣22(舍去).‎ ‎ ‎ ‎19.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=‎ ‎(Ⅰ)求△ABC的周长;‎ ‎(Ⅱ)求cos(A﹣C)的值.‎ ‎【考点】余弦定理;两角和与差的余弦函数.‎ ‎【分析】(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;‎ ‎(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.‎ ‎【解答】解:(I)∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4,‎ ‎∴c=2,‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.‎ ‎(II)∵cosC=,∴sinC===.‎ ‎∴sinA===.‎ ‎∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA==,‎ ‎∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=.‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}中,已知a1=1,,‎ ‎(1)求证数列是等差数列; ‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件转化求解数列是等差数列;‎ ‎(2)利用(1)求出通项公式,然后求解数列{an}的通项公式.‎ ‎【解答】解:(1)数列{an}中,已知a1=1,,‎ 可得an+1+2an+1an=an,‎ 可得=2.‎ 所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可得=1+2(n﹣1)=2n﹣1,‎ ‎∴数列{an}的通项公式:an=.‎ ‎ ‎ ‎21.为了考核某特警部队的应急反应能力,拟准备把特警队员从一目标处快速运送到另一目标处.通过测角仪观测到观测站C在目标A南偏西25°的方向上,B、D在A出发的一条南偏东35°走向的公路上(如图),测得C、B相距31千米,D、B相距20千米,C、D相距21千米,求A、D之间的距离.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】由图形求出∠CAD的度数,以及BC,BD及CD的长,利用余弦定理求出cosB的值,再利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,由sinA,sinB及BC的长,利用正弦定理求出AC的长,由BC,AC及cosA的值,利用余弦定理求出AB的长,由AB﹣BD即可求出AD的长.‎ ‎【解答】解:如图,易知∠CAD=25°+35°=60°,BC=31,BD=20,CD=21,‎ 由余弦定理得:cosB===,‎ ‎∴sinB==,‎ 又在△ABC中,由正弦定理得:AC===24,‎ 由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA,即312=AB2+242﹣2×AB×24cos60°,‎ ‎∴AB2﹣24AB﹣385=0,‎ 解得:AB=35或AB=﹣11(舍去),‎ ‎∴AD=AB﹣BD=35﹣20=15(km).‎ ‎ ‎ ‎22.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且满足a2+c2﹣b2=ac ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)若,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.‎ ‎【考点】余弦定理;三角形的面积公式.‎ ‎【分析】(1)利用余弦定理表示出cosB,将已知等式变形后代入求出cosB的值,由B为三角形内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;‎ ‎(2)利用正弦定理化简已知等式,求出cosA的值,由A为三角形内角,利用利用特殊角的三角函数值求出A的度数,确定出C的度数,设|AC|=m,则|BC|=m,|AB|=m,|CM|=m,利用余弦定理列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,确定出|CA|与|CB|,即可确定出三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵a2+c2﹣b2=ac,‎ ‎∴cosB===,‎ ‎∵B为三角形内角,‎ ‎∴B=;‎ ‎(2)由正弦定理: ==,‎ 将2bcosA=(ccosA+acosC)化简得:2sinBcosA=(sinCcosA+sinAcosC),即2sinBcosA=sinB,‎ ‎∴cosA=,‎ ‎∴A=,C=,‎ 设|AC|=m,则|BC|=m,|AB|=m,|CM|=m,‎ 由余弦定理可知:|AM|2=|CM|2+|AC|2﹣2|CM||AC|cos,即7=m2+m2+m,‎ 解得:m=2,‎ 则S△ABC=|CA|•|CB|•sin=.‎
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