数学文卷·2018届北京昌平临川育人学校高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届北京昌平临川育人学校高二上学期期末考试（2017-01）

2016---2017 学年北京临川学校高二期末数学试卷（北京卷） 一、选择题：（12 小题，共 60 分） 1. 已知椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则点 P 到另一个焦点的距 离为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．直线 x－√3y＝3 的倾斜角的大小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知抛物线 4y＝x2，则它的焦点坐标是( ) A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D． (0，1) 4. 焦点在 y 轴上，虚半轴的长为 4，半焦距为 6 的双曲线的标准方程为( ) A.y2 20 －x2 16 ＝1 B.y2 16 －x2 20 ＝1 C.y2 16 －x2 36 ＝1 D.y2 36 －x2 16 ＝1 5. 运动物体的位移 s＝3t2－2t＋1，则此物体在 t＝10 时的瞬时速度为( ) A．281 B．58 C．85 D．10 6. 若 f(x)＝ax3＋3x2＋2，f′(－1)＝3，则 a 的值等于( ) A．5 B．4 C．3 D．6 7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的 2 500 名城镇居民，这个问题中 “2 500 名城镇居民的寿命的全体”是( ) A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量 8. 给出下列命题，其中真命题为( ) A．对任意 x∈R， x是无理数 B．对任意 x，y∈R，若 xy≠0，则 x，y 至少有一个不为 0 C．存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除 D．x>1 是1 x <1 的充要条件 9．.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+错误！未找到引用源。 B.2+错误！未找到引用源。 C.1+2 错误！未找到引用源。 D.2 错误！未找到引用源。 10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 11．抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为（ ） A． B．1 C．2 D．4 12．双曲线 4x2﹣y2=1 的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知函数 f(x)＝x3＋2，则 f ′(2)＝________. 14．已知命题 p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p： ． 15．如图，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8， 则 f(5)＋f′(5)＝________. 16．椭圆 x2+9y2=9 的长轴长为 ． 三.解答题（六大题，共 70 分） 17（10 分）．已知曲线 C：y＝x3+5x2+3x (1)求曲线 C 导函数.(2)求曲线 C 在 x=1 处的切线方程. 18．(12 分)(1) 设命题 p：(4x－3)2≤1，若 p 是真命题，求 x 的取值范围。 (2)已知 p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围． 19．(12 分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A， B，C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A，B，C 区中分别有 18,27,18 个工厂．(1)求 从 A，B，C 区中分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工 厂中至少有 1 个来自 A 区的概率． 20．(12 分)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的 点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点． 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE. 21（12 分）.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－ 5)2＝9. (1)判断两圆的位置关系; (2)求直线 m 的方程，使直线 m 过圆 C1 圆心，且被圆 C 2 截得的弦长是 6. 22. (12 分)已知椭圆 C1：x2 4 ＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率．(1) 求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，＝2，求直线 AB 的方程． 2016---2017 学年北京临川学校高二期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题： 1. 已知椭圆 x2 25＋ y2 16＝1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则点 P 到另一个焦点的 距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 点 P 到椭圆两个焦点距离之和为 2a＝10， ∴10－7＝3. 【答案】 A 3．已知抛物线 4y＝x2，则它的焦点坐标是( ) A．(0，2) B．(1，0) C．(2，0) D． (0，1) D 2．直线 x－√3y＝3 的倾斜角的大小为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】 A 4. 焦点在 y 轴上，虚半轴的长为 4，半焦距为 6 的双曲线的标准方程为( ) A. y2 20－ x2 16＝1 B. y2 16－ x2 20＝1 C. y2 16－ x2 36＝1 D. y2 36－ x2 16＝1 【解析】 由双曲线的焦点在 y 轴上，可设双曲线的标准方程为 y2 a2－ x2 b2＝1(a>0，b>0)． 已知 b＝4，c＝6，则 a2＝c2－b2＝62－42＝20， 故所求双曲线的标准方程为 y2 20－ x2 16＝1.故选 A. 【答案】 A 5 运动物体的位移 s＝3t2－2t＋1，则此物体在 t＝10 时的瞬时速度为( ) A．281 B．58 C．85 D．10 【解析】 ∵s′＝6t－2，当 t＝10 时，s′＝6×10－2＝58. 【答案】 B 6. 若 f(x)＝ax3＋3x2＋2，f′(－1)＝3，则 a 的值等于( ) A．5 B．4 C．3 D．6 【解析】 ∵f(x)＝ax3＋3x2＋2， ∴f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝3，∴a＝3. 【答案】 C 7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的 2 500 名城镇居民，这个问题中 “2 500 名城镇居民的寿命的全体”是( ) A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量 【答案】 C 8. 给出下列命题，其中真命题为( ) A．对任意 x∈R，是无理数 B．对任意 x，y∈R，若 xy≠0，则 x，y 至少有一个不为 0 C．存在实数既能被 3 整除又能被 19 整除 D．x>1 是 1 x<1 的充要条件 【解析】 选项 A 为假命题，例如是有理数；选项 B 是假命题，若 xy≠0，则 x，y 全都 不为 0；选项 C 是真命题；选项 D 中，x>1 是 1 x<1 的充分不必要条件． 【答案】 C 9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A.1+ B.2+ C.1+2 D.2 解析:该四面体的直观图如图所示,平面 ABD⊥平面 BCD,△ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三 角形,AB=AD=BC=CD=.取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,则 AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得 AC=,因此 △ABC 与△ACD 为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面 体的表面积为 2+. 答案:B 10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 【考点】圆的标准方程． 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【解答】解：圆（x+1）2+y2=2 的圆心为（﹣1，0）， 半径为 ． 故选：D． 11．抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】直接利用抛物线方程求解即可． 【解答】解：抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为：P=2． 故选：C． 12．双曲线 4x2﹣y2=1 的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得 a，b，由双曲线的渐近线方程 y=± x，即 可得到所求结论． 【解答】解：双曲线 4x2﹣y2=1 即为 ﹣y2=1，可得 a= ，b=1， 由双曲线的渐近线方程 y=± x， 可得所求渐近线方程为 y=±2x． 故选：A． 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知函数 f(x)＝x3＋2，则 f ′(2)＝________. 12 14．已知命题 p：“∀x∈R，x 2≥0”，则￢p： ∃x∈R，x2＜0 ． 【考点】命题的否定． 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p： ∃x∈R，x2＜0． 故答案为：∃x∈R，x2＜0． 15．如图，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝ ________. 【答案】2 16．椭圆 x2+9y2=9 的长轴长为 6 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】将椭圆化为标准方程，求得 a=3，即可得到长轴长 2a． 【解答】解：椭圆 x2+9y2=9 即为 +y2=1， 即有 a=3，b=1， 则长轴长为 2a=6． 故答案为：6． 三、解答题： 17（12 分）．已知曲线 C：y＝x3+5x2+3x (1)求曲线 C 导函数. (2)求曲线 C 在 x=1 处的切线方程. (1) y′＝3x2+10x+3， （2）切线斜率 k＝y′ￜ x=1=16，当 x=1 时，y=9 ∴切线方程 y-9＝16(x-1)， 即 3x－y＋2＝0. 18．(12 分)(1) 设命题 p：(4x－3)2≤1，若 p 是真命题，求 x 的取值范围。 (2)已知 p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围． (1)若命题 p 为真，则 (2)由 x2－x－2>0，得 x>2 或 x<－1，令 A＝{x|x>2 或 x<－1}；由 4x＋m<0，得 x<－ m 4， 令 B＝{x|x<－ m 4}． 因为 p 是 q 的充分条件，所以 B⊆A，于是－ m 4≤－1，得 m≥4，所以实数 m 的取值范围 是[4，＋∞)． 19．(本小题满分 12 分)如图 3，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点． 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B 1； (2)直线 A1F∥平面 ADE. 【证明】 (1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD 平面 ABC，所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE，CC1、DE 平面 BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD 平面 ADE， 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点，所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1，且 A1F 平面 A1B1C1， 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1、B1C1 平面 BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1，所以 A1F∥AD. 又 AD 平面 ADE，A1F 平面 ADE，所以 A1F∥平面 ADE. 20．(本小题满分 13 分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样 的方法从 A，B，C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A，B，C 区中分别有 18,27,18 个 工厂． (1)求从 A，B，C 区中分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工 厂中至少有 1 个来自 A 区的概率． 【解】 (1)工厂总数为 18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为 7 63＝ 1 9，所以 从 A，B，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2. (2)设 A1，A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1，B2，B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂，C1， C2 为在 C 区中抽得的 2 个工厂，在这 7 个工厂中随机抽取 2 个，全部可能的结果有：(A1， A2) ，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2， C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3， C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有 21 种． 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果(记为事件 X)有：(A1，A2)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1 )，(A2，B2)，(A2， B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有 11 种，所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X) ＝ 11 21. 21（12 分）.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y －5)2＝9. (1)判断两圆的位置关系; (2)求直线 m 的方程，使直线 m 过圆 C1 圆心，且被圆 C 截得的弦长是 6. 解：(1)圆 C1 的圆心 C1(－3,1)，半径 r1＝2； 圆 C2 的圆心 C2(4,5)，半径 r2＝2.∴C1C2＝＝>r1＋r2，∴两圆相离； （2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线， 易得连心线所在直线方程为：4x－7y＋19＝0. 22. (12 分)已知椭圆 C1： x2 4 ＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离 心率． (1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，＝2，求直线 AB 的方程． 【解】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 y2 a2＋ x2 4 ＝1(a>2)，其离心率为 3 2，则 a2－4 a ＝ 3 2， 解得 a＝4，故椭圆 C2 的方程为 y2 16＋ x2 4 ＝1. (2)设点 A，B 的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入 x2 4 ＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4，所以 x 2 A＝ 4 1＋4k2. 将 y＝kx 代入 y2 16＋ x2 4 ＝1 中，得(4＋k2)x2＝16，所以 x 2 B＝ 16 4＋k2. 由＝2，得 x 2 B＝4x 2 A， 即 16 4＋k2＝ 16 1＋4k2， 解得 k＝±1， 故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.