高中数学必修4同步练习：向量减法运算及其几何意义

高中数学必修4同步练习：向量减法运算及其几何意义

必修四 2.2.2向量减法运算及其几何意义 一、选择题 ‎1、边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C. D. ‎2、若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　)‎ A．[3,8] B．(3,8)‎ C．[3,13] D．(3,13)‎ ‎3、在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有(　　)‎ A. ＝0 B. ＝0或＝0‎ C．ABCD是矩形 D．ABCD是菱形 ‎4、若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)‎ A.＝＋ B.＝－‎ C.＝－＋ D.＝－－‎ ‎5、化简－＋＋的结果等于(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎6、在如图四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)‎ A．a－b＋c B．b－(a＋c)‎ C．a＋b＋c D．b－a＋c 二、填空题 ‎7、已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.‎ ‎8、如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．‎ ‎9、化简(－)－(－)的结果是________．‎ ‎10、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.‎ 三、解答题 ‎11、如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.‎ ‎12、在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？‎ ‎13、如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度，‎ ‎(1)a＋b＋c；　(2)a－b＋c.‎ ‎14、如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[‎ 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则－＝＋‎ ‎＝＋＝.‎ 在△ABD中，AB＝BD＝1，‎ ‎∠ABD＝120°，易求AD＝，‎ ‎∴|－|＝.]‎ ‎2、C　[∵||＝|－|且 ‎|||－|||≤|－|≤|A|＋||.‎ ‎∴3≤|－|≤13.‎ ‎∴3≤||≤13.]‎ ‎3、C　[＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，‎ ‎∴ABCD是矩形．]‎ ‎4、B ‎5、B　‎ ‎6、A　‎ 二、填空题 ‎7、4‎ 解析　如图所示．‎ 设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.‎ 以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，‎ 则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.‎ 故|O|2＋|O|2＝|B|2，‎ 所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，‎ 从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，‎ 根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，‎ 即|a＋b|＝4.‎ ‎8、a－b＋c 解析　＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.‎ ‎9、0‎ 解析　方法一　(－)－(－)‎ ‎＝－－＋‎ ‎＝＋＋＋‎ ‎＝(＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＝0.‎ 方法二　(－)－(－)‎ ‎＝－－＋‎ ‎＝(－)＋(－)‎ ‎＝＋＝0.‎ ‎10、‎ 三、解答题 ‎11、证明　作直径BD，连接DA、DC，则＝－，‎ DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.‎ ‎∴CH∥DA，AH∥DC，‎ 故四边形AHCD是平行四边形．‎ ‎∴＝，‎ 又＝－＝＋，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋＋.‎ ‎12、解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，‎ ‎＝－＝a－b.‎ 则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；‎ 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；‎ 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．‎ ‎13、解　(1)由已知得a＋b＝＋＝，‎ 又＝c，∴延长AC到E，‎ 使||＝||.‎ 则a＋b＋c＝，且||＝2.‎ ‎∴|a＋b＋c|＝2.‎ ‎(2)作＝，连接CF，‎ 则＋＝，‎ 而＝－＝a－＝a－b，‎ ‎∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.‎ ‎∴|a－b＋c|＝2.‎ ‎14、证明　方法一　∵b＋c＝＋＝＋＝，‎ ‎＋a＝＋＝，‎ ‎∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.‎ 方法二　∵c－a＝－＝－＝，‎ ‎＝＋＝－b，‎ ‎∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.‎