数学卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（文科b卷） （解析版）

数学卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末数学试卷（文科b卷） （解析版）

‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（文科B卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}‎ ‎2．复数是虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）‎ A． =2 B．∥ C． =﹣ D．⊥‎ ‎4．已知直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，则直线x=3同圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（　　）‎ A．π+ B．2 C．2π D．‎ ‎6．已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①图象关于x=﹣对称；‎ ‎②函数在[0，]上的最大值为2‎ ‎③函数图象向左平移个单位后为奇函数．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|‎ 关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c ‎8．已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1‎ ‎9．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．3f（2）＜2f（3） B．2f（3）＜3f（2） C．3f（4）＜4f（3） D．2f（3）＜3f（4）‎ ‎10．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D． +1‎ ‎11．数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N*），若m﹣n=5，则am﹣an=（　　）‎ A．2 B．5 C．﹣5 D．10‎ ‎12．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）‎ A．11π B．7π C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=　　．‎ ‎14．设a＞0，b＞0，且不等式++≥‎ ‎0恒成立，则实数k的最小值等于　　．‎ ‎15．在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是　　．‎ ‎16．已知l1、l2是曲线C：y=的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）已知△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）求tan2A的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎18．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 ‎（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．‎ ‎19．（12分）设Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S2，S4成等差数列，已知a1+2a3+a4=4．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}，满足bn=，n∈N*，记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1，n∈N*，若对于任意n∈N*，都有aTn＜n+4恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD 为矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．‎ ‎（1）求证：BE⊥平面DAE；‎ ‎（2）当点E在的什么位置时，四棱锥E﹣ABCD的体积为．‎ ‎21．（10分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？‎ 资金 单位产品所需资金 资金供应量 空调机 洗衣机 成本 ‎30‎ ‎20‎ ‎440‎ 劳动力：工资 ‎7‎ ‎10‎ ‎156‎ 单位利润 ‎10‎ ‎8‎ ‎22．（12分）已知函数（a＞0）．‎ ‎（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若，3a＞2c＞‎ ‎2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省清远市清城区高二（上）期末数学试卷（文科B卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，‎ 变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，‎ 解得：1＜x＜4，‎ ‎∴B={2，3}，‎ ‎∵A={1，2}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3}，‎ ‎∵集合U={0，1，2，3，4，5}，‎ ‎∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．复数是虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、周期性与几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵i4=1，∴i2014=（i4）503•i2=﹣1．‎ ‎∴复数==在复平面内对应的点位于第二象限，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了复数的运算法则与几何意义、周期性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）‎ A． =2 B．∥ C． =﹣ D．⊥‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量，共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．‎ ‎【解答】解：由+=，得若=﹣≠，即有=﹣，则，共线且方向相反，‎ 因此当因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立．‎ 对照各个选项，可得A项中向量、的方向相同，‎ B项中向量，共线，方向相同或相反，‎ C项中向量、的方向相反，‎ D项中向量、的方向互相垂直 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，则直线x=3同圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，可得b=2，即可判断直线x=3同圆C的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，‎ ‎∴b=2，‎ ‎∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（1，2），半径为2，‎ ‎∴直线x=3同圆C相切．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，求出b是关键．‎ ‎　‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（　　）‎ A．π+ B．2 C．2π D．‎ ‎【考点】由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．‎ ‎【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．‎ ‎【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 ‎ V圆柱=π×12×1=π ‎ 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为 ‎ 故棱锥高为 ‎ 由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是 ‎ 底面三角形的面积是=1‎ ‎ 故=‎ ‎ 故该几何体的体积是π+‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（　　）‎ ‎①图象关于x=﹣对称；‎ ‎②函数在[0，]上的最大值为2‎ ‎③函数图象向左平移个单位后为奇函数．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，‎ ‎①利用正弦函数的对称性，判断图象关于x=﹣对称是否正确；‎ ‎②求出函数在[0，]上的最大值是否为2，判断正误即可．‎ ‎③利用函数图象向左平移个单位后，求出函数的解析式，判断是否为奇函数．‎ ‎【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），‎ ‎①因为2x﹣=k，k∈Z，当k=﹣1时，x=‎ 是函数的一条对称轴，所以图象关于x=﹣对称正确；‎ ‎②x∈[0，]，则2x﹣∈[，]，所以函数y=2sin（2x﹣）的最大值为2，正确；‎ ‎③函数图象向左平移个单位后可得：函数y=2sin（2x+﹣）=sin2x，函数为奇函数．正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的对称性，函数的最值以及函数的图形的平移，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】先由偶函数的性质求出f（x）=1﹣|1﹣x2|，由此利用对数函数和指数函数的性质能求出a，b，c的大小关系．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，∴m=0，‎ ‎∴f（x）=1﹣|1﹣x2|，‎ ‎∵a=f（m+2）=f（2）=1﹣|1﹣22|=﹣2，‎ b=f（log5）=1﹣|1﹣（）2|=（log5）2∈（0，1），‎ c=f（e）=1﹣|1﹣（）2|=1﹣|1﹣e|=2﹣e≈﹣0.71828，‎ ‎∴a＜c＜b．‎ ‎【点评】本题考查三个数的大小关系的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围．‎ ‎【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解，‎ ‎∴显然当x=0时，无论k为何值，都成立，‎ 当只需有三个不等于零的不同实数根，‎ ‎∴方程可化=|x|（x+2），‎ 只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：‎ 有图象可知只需0＜＜1，‎ ‎∴k＞1，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了方程的解和函数的交点问题的转换，难点是利用数形结合的思想解决问题．‎ ‎　‎ ‎9．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．3f（2）＜2f（3） B．2f（3）＜3f（2） C．3f（4）＜4f（3） D．2f（3）＜3f（4）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据条件构造函数g（x）=‎ ‎，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），‎ ‎∴f′（x）＜0，则不等式＞x，等价为f（x）＜xf′（x），‎ 即xf′（x）﹣f（x）＞0，‎ 设g（x）=，‎ 则g′（x）=＞0，‎ 即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ 则g（3）＜g（4），g（2）＜g（3），‎ 即＜，＜‎ 即4f（3）＜3f（4），3f（2）＜2f（3），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数的单调性进行判断是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C． D． +1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得 ‎=﹣3，从而可求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，‎ 分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），‎ ‎∴AB中点坐标为（，），‎ ‎∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，‎ ‎∴=﹣3，‎ ‎∴a=2b，‎ ‎∴c=b，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N*），若m﹣n=5，则am﹣an=（　　）‎ A．2 B．5 C．﹣5 D．10‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知数列的前n项和，求出数列的通项公式，结合m﹣n=5，可求am﹣an的值．‎ ‎【解答】解：由Sn=n2+2n，得a1=S1=3，‎ 当n≥2时， =2n+1．‎ 验证a1=3适合上式，‎ ‎∴an=2n+1．‎ 又m﹣n=5，则m=n+5，‎ ‎∴am﹣an=an+5﹣an=2（n+5）+1﹣2n﹣1=10．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）‎ A．11π B．7π C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．‎ ‎【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，‎ ‎∵SA⊥平面ABC，SA=2，‎ 由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．‎ 则有该三棱锥的外接球的半径R==，‎ ‎∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=‎ ‎　16　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出，，而，，且，代入进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵AC是BD的垂直平分线；‎ ‎∴，；‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=25﹣9‎ ‎=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎【点评】考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．‎ ‎　‎ ‎14．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于　﹣4　．‎ ‎【考点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】把k看作参数，将参数分离成k≥‎ ‎，再利用基本不等式求的最大值．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，‎ 由++≥0，得k≥，‎ 只需k≥[]max即可．‎ ‎∵a+b≥，∴．‎ ‎∴k≥﹣4，从而实数k的最小值等于﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．‎ ‎　‎ ‎15．在图中的算法中，如果输入A=2016，B=98，则输出的结果是　14　．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的C，A，B的值，当B=0时不满足条件B不等于零，退出循环，输出A的值为14，即可得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 A=2016，B=98‎ 满足条件B不等于零，执行循环体，C=56，A=98，B=56‎ 满足条件B不等于零，执行循环体，C=42，A=56，B=42‎ 满足条件B不等于零，执行循环体，C=14，A=42，B=14‎ 满足条件B不等于零，执行循环体，C=0，A=14，B=0‎ 不满足条件B不等于零，退出循环，输出A的值为14．‎ 故答案为：14．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知l1、l2是曲线C：y=的两条互相平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为　2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】首先设出两切点，求出导数，求出斜率，写出两切线方程，运用两平行直线的距离公式化简整理，再运用基本不等式即可求出最大值，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：设l1，l2与曲线相切的切点分别是P1（x1，y1），P2（x2，y2），‎ 则y1=，y2=，‎ 又y′=（）′=﹣，‎ ‎∵l1∥l2，∴﹣，∴x2=﹣x1，‎ ‎∴l1：y﹣y1=﹣（x﹣x1）即y=﹣，‎ l2：y﹣y2=﹣（x﹣x2）即y=﹣，‎ ‎∴由两平行线的距离公式得，d==．当且仅当即x1=±1时，d取得最大值2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查导数的概念及应用，应用导数的几何意义是求切线方程的关键，同时考查两平行直线的距离公式及基本不等式的运用，熟记这些公式是迅速解题的前提．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）（2013•镇江一模）已知△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）求tan2A的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；‎ ‎（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎∵，∴，…（2分）‎ ‎∴，∴tanA=2．…（4分）‎ ‎∴．…‎ ‎（2），即，…（6分）‎ ‎∵tanA=2，∴…（7分），‎ ‎∴，‎ 解得．…（9分）‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=‎ ‎．…（11分）‎ 由正弦定理知：，可推得…（13分）‎ ‎∴．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 ‎（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．‎ ‎（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．‎ 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；‎ ‎（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．‎ 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：‎ ‎（C，D）（C，E），（D，E）共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．‎ ‎【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•清城区期末）设Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S2，S4成等差数列，已知a1+2a3+a4=4．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{bn}，满足bn=，n∈N*，记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1，n∈N*，若对于任意n∈N*，都有aTn＜n+4恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）由S3+S4=2S2，得S3﹣S2+S4﹣S2=0，解得q=﹣2，由a1+a4=4﹣2a3，得a1=4．由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（II）由，得，由个利用裂项求和法求出Tn=，从而得到恒成立，设 ‎，由函数的单调性能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）设数列{an}的公比为q，‎ 由S3+S4=2S2，得S3﹣S2+S4﹣S2=0，‎ 即有a3+a4+a3=0，得q=﹣2．‎ 又a1+a4=4﹣2a3，则，得a1=4．‎ 故．…（7分）‎ ‎（II）由（I）知，‎ 则．∴．…（10分）‎ 依题意有对于任意的正整数n恒成立，‎ 即恒成立．‎ 设，‎ 由于在区间上为减函数，在区间上为增函数，‎ 而，则，‎ 故有，即有．‎ 所以实数a的取值范围为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法和构造法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•湖北一模）如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD 为矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．‎ ‎（1）求证：BE⊥平面DAE；‎ ‎（2）当点E在的什么位置时，四棱锥E﹣ABCD的体积为．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用矩形的性质可得：DA⊥AB，利用面面垂直的性质定理可得：DA⊥平面ABE，利用圆的性质可得AE⊥BE，即可证明．‎ ‎（2）利用面面垂直的性质与线面垂直的判定定理可得：EH⊥平面ABCD．在Rt△BAE中，设∠BAE=α（0＜α＜），利用VE﹣ABCD====，解得α，即可得出点E的位置．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴DA⊥AB，‎ 又平面ABCD⊥平面ABE，‎ 且平面ABCD∩平面ABE=AB，‎ ‎∴DA⊥平面ABE，‎ 而BE⊂平面ABE，∴DA⊥BE．‎ 又∵AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的 动点，∴AE⊥BE．‎ ‎∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面DAE．‎ ‎（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，过点E作EH⊥AB交AB于点H，则EH⊥平面ABCD．‎ 在Rt△BAE中，设∠BAE=α（0＜α＜），‎ ‎∵AB=2，∴AE=2cosα，HE=AEsinα=2sinαcosα=sin2α，‎ ‎∴VE﹣ABCD===．‎ 由已知VE﹣ABCD=，∴，化为sin2α=．‎ ‎∵0＜α＜，∴，即；‎ 或2，即．‎ 于是点E在满足或时，四棱锥E﹣ABCD的体积为．‎ ‎【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、圆的性质、四棱锥的体积计算公式、三角函数的计算与性质，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2016秋•清城区期末）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？‎ 资金 单位产品所需资金 资金供应量 空调机 洗衣机 成本 ‎30‎ ‎20‎ ‎440‎ 劳动力：工资 ‎7‎ ‎10‎ ‎156‎ 单位利润 ‎10‎ ‎8‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．‎ ‎【解答】解：设进货量分别为空调机x台，洗衣机y台，利润z百元，则，‎ 化简为目标函数z=10x+8y即，做出可行域如图所示：‎ 由可得A（8，10），平移经过A（8，10）点时截距最大，即目标函数z最大，‎ 此时z=10×8+8×10=160百元．‎ ‎【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2011•蓝山县校级模拟）已知函数（a＞0）．‎ ‎（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．‎ ‎【考点】根与系数的关系；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（1）根据函数零点的概念，x1，x2，x3，即为=0的三个实数根，则x3=0，结合韦达定理得出，，由此f′（x）=a（x﹣1）（x+3），单调区间可求．‎ ‎（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．‎ ‎（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点．可得出|m﹣n|，关于的不等式，并结合约束条件2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．‎ ‎【解答】（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，则x3=0，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣9（1分）‎ 因为x1，x2是方程=0的两根，‎ 则，，得，，（3分）‎ 所以=a（x2+2x﹣3）=a（x﹣1）（x+3）．‎ 令 f′（x）=0 解得：x=1，x=﹣3‎ 故f（x）的单调递减区间是（﹣3，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣3），（1，+∞）． ‎ ‎（2）因为 f′（x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．‎ 又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）‎ 于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．（8分）‎ ‎①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，‎ f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m； （9分）‎ ‎②当c≤0时，因为＜0，f′（2）=a﹣c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．‎ 同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．‎ 综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点． （10分）‎ ‎（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数 f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得 ‎3a+2b+2c=0，则m+n=﹣，mn==．所以|m﹣n|===‎ 由已知， ，则两边平方≥3，得出≥1，或≤﹣1，即≥﹣1，或≤﹣3﹣3a＜b＜﹣a．‎