2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安市高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位，一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生，这里运用的抽样方法是（ ）‎ A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样 D. 分层抽样 ‎【答案】C ‎【解析】抽名学生分了组（每排为一组），每组抽一个，符合系统抽样的定义 故选 ‎2. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，则的值为（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲组数据的中位数为 由茎叶图可得 故选 ‎3. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由方程可知，渐近线方程为 考点：双曲线性质 ‎4. 已知椭圆的右焦点，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B 由题意可得，又 解得 故选 ‎5. 抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线可化为，焦点在轴上，‎ 抛物线的准线方程是 故选 ‎6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）‎ A. -3 B. -10 C. 0 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】循环时参数值分别为；；；，此时满足退出循环条件，输出－3，故选A．‎ ‎7. ‎ 某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试，现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：‎ 据此估计允许参加面试的分数线大约是（ ）‎ A. 75 B. 80 C. 85 D. 90‎ ‎【答案】B ‎【解析】，择优选出100人参加面试，随机调查了24名笔试者的成绩，则，观察表格，分数在有5人，有1人 估计参加面试的分数线为 故选 ‎8. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 设过点的直线与椭圆相交于两点，‎ ‎ 由中点坐标公式可得，‎ 则，两式相减得，‎ 所以，所以直线的斜率，‎ 所以直线的方程为，整理得，故选A．‎ ‎9. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由甲心中想一个数字，记为，‎ 再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，‎ 其中，‎ ‎∴基本事件总数，‎ ‎∵|a−b|⩽1，就称甲、乙“心有灵犀”，‎ ‎∴任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”包含的基本事件有：‎ ‎，‎ ‎，‎ 共有16个，‎ ‎∴任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率.‎ 故选：D.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎10. 已知圆，从点发出的光线，经轴反射后恰好经过圆心，则入射光线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据反射定律，圆心C（2，-1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，‎ 再由点P（-1，-3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程 ‎11. 已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意不妨设在第一象限 ‎，‎ 双曲线：可化为，‎ 椭圆：（）与双曲线：有相同的右焦点 椭圆的离心率为 故选 ‎12. 已知点在椭圆上，则直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切 ‎【答案】D ‎【解析】点在椭圆上，‎ ‎，‎ 圆的圆心到直线的距离：‎ 直线与圆的位置关系为相交或相切 故选 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 圆心为且过原点的圆的方程是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意知圆的半径 圆的方程为 ‎14. 点关于轴的对称点是__________．‎ ‎【答案】（-1,-1，1）‎ ‎【解析】点关于轴的对称点的坐标就是竖坐标不变，横坐标，纵坐标的数值为相反数，就是 ‎15. 不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是__________．‎ ‎【答案】(2,3)‎ ‎【解析】试题分析：直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11="0" 的交点，联立方程组可求定点的坐标．‎ 解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）="0" ‎ 即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，‎ 根据k的任意性可得，‎ 解得，‎ ‎∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．‎ 故答案为：（2，3）．‎ 考点：恒过定点的直线．‎ ‎16. 点是抛物线：与双曲线： 的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取双曲线的一条渐近线：，联立 ‎，解得，故 点到抛物线的准线的距离为 ‎，化为 双曲线的离心率 故答案为 点睛：本题考查双曲线的性质及方程，双曲线 的离心率和渐近线的斜率之间有关系。先根据条件求出点的坐标，再结合点到抛物线的准线距离为，得到，再代入离心率计算公式即可得到答案。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知直线，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若且它们的距离为，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故，解得；（2）因为两条直线是相互平行的，故，解得．‎ 解析：设直线的斜率分别为，则、．‎ ‎（1）若，则，∴‎ ‎（2）若，则，∴．‎ ‎∴可以化简为，‎ ‎∴与的距离为，∴或 ‎ ‎18. 已知抛物线与直线交于两点.‎ ‎（1）求弦的长度；‎ ‎（2）若点在抛物线上，且的面积为12，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)设A（x1,y1)、B(x2,y2),‎ 由得x2-5x+4=0,Δ>0.‎ 法一：又由韦达定理有x1+x2=5,x1x2=,‎ ‎∴|AB|==‎ 法二：解方程得：x=1或4，∴A、B两点的坐标为（1,-2)、（4,4）‎ ‎∴|AB|=‎ ‎(Ⅱ)设点,设点P到AB的距离为d,则 ‎,∴S△PAB=··=12，‎ ‎∴. ∴，解得或 ‎∴P点为（9，6）或（4，-4）.‎ 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路 ‎19. 已知集合.‎ ‎（1）若，求的概率；‎ ‎（2）若，求的概率.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率． （2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设为事件，，‎ 即，即.‎ 则基本事件有：共个，其中满足的基本事件有个，所以.故的概率为.‎ ‎ (2)设为事件，因为，则基本事件为如图四边形区域，事件包括的区域为其中的阴影部分.‎ 所以，‎ 故的概率为.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎20. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题计结果如下图表所示：‎ ‎（1）分别求出的值；‎ ‎（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？‎ ‎（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.‎ ‎【答案】（1）18,9,0.9,0.2（2）2，3,1（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由第一组求出的值，再结合图表及频率分布直方图就可以求出的值；（2）根据（1）中求出的各组人数，按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取的人数；（3）先列出从人中随机抽取人的总抽取方法，再列出所抽取的人中第二组至少有人的抽取方法数，即可求出所得的概率.‎ 试题解析：（1）由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为，‎ 再结合频率分布直方图可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）第二，三，四组中回答正确的共有人，所以利用分层抽样在人中抽取人，每组分别抽取的人数为：‎ 第二组：人，‎ 第三组：人，‎ 第四组：人.‎ ‎（3）设第二组的人为，第三组的人为，第四组的人为，则从人中抽人所有可能的结果有：‎ ‎ 共个基本 事件，其中第二组至少有一人被抽中的有 这个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为.‎ 考点：1、频率分布表及直方图；2、分层抽样；3、古典概型.‎ ‎21. 已知圆心在直线上，且与直线相切于点.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）直线与该圆相交于两点，若点在圆上，且有向量（为坐标原点），求实数.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：求出圆心与半径，即可求圆的方程；‎ ‎⑵直线与圆联立得，利用韦达定理，代入圆方程，即可得到结论；‎ 解析：（I）设圆的方程为 因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线与直线l垂直可得a=0，r=，所以圆的方程为：‎ ‎(II)直线与圆联立： ，得： ，‎ Δ=,解得.‎ 设A() B，,‎ M代入圆方程：‎ ‎，求得k=‎ ‎22. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】】试题分析：由抛物线方程求得焦点坐标，求得的值，由双曲线的离心率公式求得其离心率，则，即可求得椭圆的半长轴的值，则，即可求得半短轴，即可求得椭圆的方程；‎ ‎⑵将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得，则，‎ ‎，即可求得点坐标，由中点坐标公式求得点坐标，分类当及当时，由，根据向量的坐标表示，即可求得的值 ‎ 解析：（I）抛物线的焦点坐标为，所以 双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，‎ 故椭圆的 所以椭圆方程为：‎ ‎（II）由（I）知，且直线的斜率必存在，设斜率为，‎ 则直线方程为：，设点的坐标为，‎ 联立方程，方程消去整理得：‎ 两点坐标满足上述方程，由韦达定理得，‎ 所以， ‎ 所以，的坐标为， ‎ 线段的中点为,则点坐标为 以下分两种情况：‎ 当时，点的坐标为,线段的垂直平分线为轴，于是 时，线段的垂直平分线方程为 ‎，令，解得 由 ‎ 所以：‎ 点睛：常用的解析几何题目中的化简运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化化简运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算。圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化。‎