数学理卷·2018届辽宁省本溪满族自治县高级中学高二4月月考（2017-04）

数学理卷·2018届辽宁省本溪满族自治县高级中学高二4月月考（2017-04）

班 级 考 号 姓 名 本溪县高级中学2016—2017学年下学期第一次月考高二试题 数 学（理科）‎ 考试时间： 120分钟 试卷总分： 150分 ‎ 命题范围：空间向量、导数及其应用 说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为主观题，按要求答在答题纸相应位置上。‎ 第Ⅰ卷（选择题 60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分）‎ ‎1.函数的单调递增区间是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知向量， ，使成立的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )‎ ‎ A.30 B.45 C.60 D.90‎ ‎4．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5.如图所示是的导数图像，则正确的判断是（ ）‎ ‎①在上是增函数； ②是的极大值点 ③是的极小值点 ④在上是减函数 A．①② B．②③ C.③④ D．②④ ‎ ‎6．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7.在空间直角坐标系中，，则为 （ ）‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D．锐角三角形 ‎8．设是可导函数，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若向量的起点与终点互不重合且无三点共线，是空间任一点，则能使成为空间一组基底的关系是（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎10.若，且函数在处有极值，若，则t的最大值为( )‎ ‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎11.已知，‎ 若有等式成立，则之间的关系是（　　）‎ Ａ．平行 Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能 ‎12．已知为R上的可导函数，且对，均有，则有（ ）‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 二．填空题：本大题共4个小题.每小题5分;共20分．将答案填在题中横线上．‎ ‎13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则____________．‎ ‎14．将边长为2的正方形沿对角线折成直二面角，则异面直线与所成的角___________‎ ‎15. 已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝_______.‎ ‎16.如图，在正四棱柱中，，，动点分别在线段上，则线段长度的最小值为___________．‎ 三．解答题：本大题共6个小题.共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ex，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)与直线y＝ex有唯一公共点．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎19、（本小题满分12分）已知函数f(x)是二次函数，且f(x)=0有两个相等的实根，且，‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)求函数f (x)与所围成的图形的面积。‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 如图7，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若 ‎，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作．‎ （1） 求证：向量为平面的法向量；‎ （2） 求证：以为边的平行四边形的面积等于；‎ （3） 将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小．‎ ‎21、（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使得（是自然对数的底数），求实数的取值范围。‎ ‎22、（本小题满分10分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的极值 ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值 ‎ .‎ ‎ ‎ 数学试卷标准答案 ‎【选择题】‎ 1、 D 2、A 3、B 4、D 5、C 6、B ‎7、B 8、B 9、C 10、D 11、A 12、C ‎【填空题】‎ 13、 ‎ 14、 15、1 16、‎ ‎【解答题】‎ ‎17、【解析】（本小题满分12分）‎ ‎(1)∵f′(0)＝e0＝1，f(0)＝1，∴切线方程为y－1＝1·(x－0)，即x－y＋1＝0.‎ ‎ …………4分 (2) 设g(x)＝ex－ex，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 曲线y＝ex与y＝ex的公共点的个数等于函数g(x)＝ex－ex零点的个数．‎ ‎ …………6分 ‎∵g′(x)＝ex－e，令g′(x)＝0，得x＝1，‎ ‎∴g(x)在(－∞，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(x)的最小值g(1)＝e1－e＝0， …………9分 g(x)＝ex－ex≥0(仅当x＝1时，等号成立)． …………11分 ‎∴曲线y＝f(x)与直线y＝ex有唯一公共点． …………12分 ‎18、【解析】（本小题满分12分）‎ ‎（1）如图建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）‎ ‎=（1，，），=（1，0，） …………2分 设平面的法向量为n=（x，y，z）‎ 则n n，则有，得n=（，0，1） …………4分 由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量. …………5分 设n与所成角为，则， …………7分 又，，即二面角的大小是 …………8分 ‎（2）由已知得=（1，，）, n=（，0，1） ‎ 则 …………11分 直线与平面D所成的角的正弦值为 …………12分 19、 ‎【解析】（本小题满分12分）‎ ‎（1）设． ‎ ‎ …………2分 得： ‎ ‎ …………4分 ‎（2）由题或. …………7分 ‎.‎ ‎ …………12分 19、 ‎【解析】（本小题满分12分）‎ ‎（1），‎ ‎，同理．是平面的法向量． …………4分 ‎（2）设平行四边形的面积为，与的夹角为，‎ 则．‎ 结论成立． …………8分 ‎（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，‎ 则， …………10分 又，‎ ‎． …………12分 20、 ‎【解析】（本小题满分12分） ‎ ‎（1）． ………1分 因为当时，，在上是增函数，‎ 因为当时，，在上也是增函数，‎ 所以当或，总有在上是增函数， ……… 2分 又，所以的解集为，的解集为， ‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为． ………4分 ‎（Ⅱ）因为存在，使得成立，‎ 而当时，，‎ 所以只要即可． ………5分 又因为，，的变化情况如下表所示：‎ 减函数 极小值 增函数 所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值． ………7分 因为，‎ 令，因为，‎ 所以在上是增函数．‎ 而，故当时，，即；‎ 当时，，即． ………9分 所以，当时，，即，‎ 函数在上是增函数，解得； ………10分 当时，，即，‎ 函数在上是减函数，解得． ………11分 综上可知，所求的取值范围为． ………12分 ‎22、【解析】（本小题满分10分）‎ ‎（1）‎ ‎ …………4分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎ （2） 与极值点的函数值比较 ‎ 可知在区间上的最大值时，最小值是 ‎ …………10分 说明：各题中出现的不同解法，请参照此标准相应给分。‎