北京市北京师范大学附属实验中学2020届高三上学期月考数学试卷

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北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高二年级月考数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，得：，，故，故选B.‎ ‎2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎3.已知命题p：存在正数M，N，满足；命题q：对满足且的任意实数a，，则下列命题为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过特值法判断命题的真假，然后根据复合命题的真假规律判断．‎ ‎【详解】解：当时，，故命题为真；‎ 当时，，故命题为假，‎ A. 为真；B. 为假；C. 为假；D. 为假，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．‎ ‎4.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.‎ ‎【详解】解：，，，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. ①④②③ B. ①④③② C. ④①②③ D. ③④②①‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．‎ ‎【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是； ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数， 在上的值为负数，故第三个图象满足； ③为奇函数，当时，，故第四个图象满足； ④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．‎ ‎6.“”是“函数在上为单调函数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用导函数求出函数在上为单调函数的取值范围，再由充分条件与必要条件得出选项．‎ ‎【详解】函数的导函数 ，‎ 若函数在上是单调函数，则或．‎ 设， ‎ 需或 ‎ 即或，又因为，所以 ‎ 设，故 ‎ 所以或 综上，当或时，函数在上为单调函数．‎ 充分性：时，函数在上为单调函数，充分性成立；‎ 必要性：函数在上是单调函数，无法得到，必要性不成立．‎ 故“”是“函数在上为单调函数”的充分不必要条件．‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查利用导函数由函数的单调性求参数的取值范围、充分条件与必要条件，属于综合性题目．‎ ‎7.函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由关于对称得函数为偶函数，则不等式等价于，解出即可.‎ ‎【详解】解：因为关于对称，将向右平移2个单位得，同时对称轴由平移到，即关于对称，‎ 所以函数为偶函数，‎ ‎，又函数在上单调递增，‎ ‎，解得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性，奇偶性的判断及应用，是基础题.‎ ‎8.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式．‎ ‎【详解】令，则，‎ 可设，‎ ‎， ‎ ‎ 所以 解不等式，即，所以 ‎ 解得，所以不等式的解集为 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．‎ 二、填空题 ‎9.将函数图象右移两个单位所得新函数解析式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据左加右减得新函数的解析式.‎ ‎【详解】将函数图象右移两个单位得，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数左右平移的规律，注意左右平移仅变化，是基础题.‎ ‎10.奇函数，当时，，则当时，________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，由，将代入可得结果．‎ ‎【详解】解：当时，，又为奇函数，‎ 则，‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查由奇偶性求函数解析式，是基础题．‎ ‎11.函数的单词递增区间是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求定义域，再通过的单调增区间求函数的单词递增区间．‎ ‎【详解】解：函数的定义域为，‎ 在区间内，由复合函数的单调性得函数的单词递增区间即为函数的单调增区间，即为，‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，注意函数的定义域，是基础题．‎ ‎12.命题“”是假命题，则m的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等价命题求解，转化为不等式恒成立的问题．‎ ‎【详解】∵命题“”是假命题，‎ ‎∴，不等式恒成立．‎ ‎ 设，‎ 则有，解得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】解答本题时注意两点：（1）解决问题时，若直接求解不容易时，可从问题的反面考虑，运用“正难则反”的解题方法；（2）解决二次不等式的恒成立问题时，可通过分离参数转化为求函数的最值的问题处理，也可根据一元二次方程根的分布处理．‎ ‎13.已知函数，且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点定义得函数,构造函数.画出函数图像,根据零点定义可得两个函数有两个交点情况,即可求得m的取值范围.‎ ‎【详解】函数在内有且仅有两个不同的零点,‎ 即,则,令 所以函数的零点个数即为与的交点个数.‎ 函数,画出函数图像如下图所示:‎ 则为过定点的一条直线.‎ 当时,由图像可知,当过时与有两个交点,此时临界点,‎ 代入可得,解得 结合图像可知,当时,与有两个交点 当时,由图像可知当过时与有两个交点,此时为临界点 代入可得,解得 结合图像可知,当与在第三象限相切时只有一个交点,此时,化简可得,即 因为,所以当相切时满足 ‎ 解得 所以当时与有两个交点 综上可知,当时函数在内有且仅有两个不同的零点 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的画法,根据函数零点个数求参数的取值范围,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.‎ ‎14.设函数的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称为D上的“m型增函数”，已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.若为R上的“30型增函数”，则实数a的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，，分别讨论，，，，，利用用绝对值的几何意义，列不等式求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：∵函数是定义在上的奇函数，且当时，， 得 ‎， ∵为上的“30型增函数”， ∴， 当时，，即恒成立， 式子的几何意义为数轴上到点的距离小于到点的距离， 又，解得；  当时，，即 恒成立，‎ 式子的几何意义为数轴上的点到点和点的距离和， ∴根据几何意义得，即； 当时，，即恒成立，‎ 式子的几何意义为数轴上到点的距离大于到点的距离， ，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当，即时，，解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属中档题．‎ 三、解答题 ‎15.设函数是奇函数，a，b，c都是整数，且，．‎ Ⅰ求a，b，c的值；‎ Ⅱ求函数的值域．‎ ‎【答案】Ⅰ ，， ；II ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ由为奇函数，且，得，列方程组解得，，由及a，b，c为整数，得，；‎ Ⅱ当时，用基本不等式求得最小值，再根据奇函数的性质可得值域．‎ ‎【详解】Ⅰ依题意得：由为奇函数，且，得，‎ ‎，解得：，，又，所以，即，得，，‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，，所以，所以，‎ 综上所述：，，‎ Ⅱ由Ⅰ知，‎ 当时，，当且仅当取等号，因为为奇函数，所以时，，‎ 综上所述：的值域为：‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的解析式和奇函数性质的应用，属于基础题．‎ ‎16.定义在上的单调函数满足且对任意都有.‎ ‎（1）求证：为奇函数；‎ ‎（2）若对任意恒成立, 求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 又t＞0时，，当且仅当时，…12分 ‎∴……13分 综上所述，时，f(k ·3x )+ f(3 x－9 x－2)＜0对任意x∈R恒成立. …14分 ‎【方法2：h(t)的其对称轴…….11分K^S*5U.C#‎ ‎1)当时，h(0)＝2>0, 而且h(t)在(0,+∞)上是单调增函数，所以h(t)＞0对任意t＞0恒成立．符合题意.#高&考*￥资%源#网12分 ‎2)当时，则须，‎ 则得……13分 综上所述，时，对任意x∈R恒成立. ……14分】‎ ‎17.如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．‎ ‎(1)求面积以为自变量的函数式；‎ ‎(2)若，其中为常数，且，求的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本试题主要考查了抛物线的方程求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用．‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为． ‎ 点的横坐标满足方程，解得，舍去． ‎ 所以． ‎ 由点在第一象限，得．‎ 所以关于的函数式为，． ‎ ‎（Ⅱ）解：由及，得． ‎ 记，‎ 则． ‎ 令，得． ………9分 ‎① 若，即时，与的变化情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大值 ‎ ‎↘ ‎ 所以，当时，取得最大值，且最大值为． ‎ ‎② 若，即时，恒成立，‎ 所以，的最大值为． ‎ 综上，时，的最大值为；时，的最大值为．‎ ‎18.设a为实数，函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)当时，判断函数与函数的图象有几个交点，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)2个，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）由可得，令，求导，判断函数的单调性，求出函数的极值，即可判断函数零点的个数．‎ ‎【详解】解：（1）由题意得 ‎，‎ 令，得 ①当时，函数在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增． ②当，即时，在上恒有，故函数在上单调递增． 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）即， 化简得 令， 则， 所以在上为减函数，在上为增函数，极小值为， 且， 故有两个零点， 从而函数与的图象有两个交点．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点的判定，体现了转化思想的解题思想方法，是中档题．‎ ‎19.已知函数，函数的图象在处的切线与直线平行.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设()是函数的两个极值点，若，试求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ）； （Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用导数的几何意义，结合平行线的斜率相等，得f′（1）=2，即可求得实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的图象和性质，求解b 的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）结合（Ⅱ），可知两个极值点，，求出，令t，构造出函数；再根据，求得函数的定义域，进而利用导数求的最小值即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵，∴.‎ ‎∵切线与直线平行，‎ ‎∴，∴. ‎ ‎（Ⅱ）易得()，‎ ‎ ∴ (). ‎ 由题意，知函数存在单调递减区间,等价于在上有解，‎ ‎∵，则故可设. ‎ 而，所以，要使在上有解，‎ 则只须， 即，‎ 故所求实数的取值范围是. ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，‎ 令，得.‎ ‎∵()是函数的两个极值点，‎ ‎∴()是方程的两个根，‎ ‎∴，. ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，∵，∴，‎ 且.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 化简整理，得,解得或.‎ 而，∴. ‎ ‎ ，∴函数在单调递减，‎ ‎ ∴. ‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数与函数单调性的关系，考查了函数的极值和利用导数求最值；在求最值过程中，要注意定义域优先的原则，即求函数的单调性和最值必须在函数的定义域内进行.‎ ‎20.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，，2，4，8，．‎ Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；‎ Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；‎ Ⅲ有多少个集合对，满足P，，且？‎ ‎【答案】(1),,，(2)4，（3）128‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,‎ ‎①且,则;②若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ),,.‎ ‎(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,‎ ‎①且,则;‎ ‎②若且,则.‎ 所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.‎ 所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.‎ ‎(Ⅲ)因为,‎ 所以.‎ 由定义可知：.‎ 所以对任意元素,,‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以.‎ 由知：.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以,即.‎ 因为,‎ 所以满足题意的集合对的个数为.‎ 点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.‎