数学理卷·2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试（2017

数学理卷·2018届河南省漯河市高级中学高三上学期第四次模拟考试（2017

河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A．(0,1) B．(0,2] C．[2,4) D．(1,2]‎ ‎2.已知复数，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，是非零向量，则“存在负数，使得 ”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.若点在直线上，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.如图所示的程序输出结果为 ，则判断框中应填（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.已知，是不等式组 ，所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的最大值是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.已知等差数列满足，且，，成等比数列，则（ ）‎ A． 5 B．3 C.5或3 D．4或3‎ ‎9.若，则（ ）‎ A．0 B．1 C. 32 D．-1‎ ‎10.如图，格纸上小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．48 B．36 C. 32 D．24‎ ‎11.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为2和4.过作于，于，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知当时，函数的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为 ．‎ ‎14.三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，侧面三角形为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是 ．‎ ‎15.已知为抛物线：的焦点，过作斜率为1的直线交抛物线于、两点，设，则 ．‎ ‎16.如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为 ．（其中取近似值）‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎19. 汽车店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。某品牌汽车店为了了解，，三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示1.‎ 表1‎ ‎(I)某公司一次性从店购买该品牌，，型汽车各一辆,记表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).‎ ‎(II)该品牌汽车店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表2.‎ 预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从的关系,且该产品的成本是500元/件,为使4S店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多少元？‎ 表1‎ 车型 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 频数 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 表2‎ 单价(元)‎ ‎800‎ ‎820‎ ‎840‎ ‎850‎ ‎880‎ ‎900‎ 销量(件)‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎20. 已知点（2,3）在椭圆上，设，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点、且点到直线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎(II)设，为椭圆上的两点，且满足，‎ 求证：的面积为定值，并求出这个定值.‎ ‎21. 已知曲线在 处的切线与直线平行，.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎(II)求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标系为（1,0），若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（I）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎(II)设直线和曲线交于，两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎(II)记函数的值域为，若，证明.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12： ‎ 二、填空题 ‎13. 1 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所有.‎ 又因为，解得.所以，.‎ 由，可得①.‎ 由，可得②.‎ 联立①②，解得，，由此可见.‎ 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为.‎ 由，，有，‎ 故，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎ ‎18.（I）法一：作于，连接 由侧面与底面垂直，则面 所以，又由，，，‎ 则，即 取的中点，连接，由为的中点，‎ 则四边形为平行四边形，‎ 所以，又在中，，‎ 为中点，所以，‎ 所以，又由所以面.‎ 法二: 作于，连接 由侧面与底面垂直，则面 所以，又由，，，‎ 则，即 分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 由已知，，，，，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 又由所以面.‎ ‎（II）设面的法向量为 由，‎ ‎，‎ 由（I）知面，取面的法向量为 所以，‎ 设二面角大小为，由为钝角得 ‎19. (1)根据表格,型车维修的概率为,型车维修的概率为,型车维修的概率为.‎ 由题意,的可能值为0,1,2,3,‎ 所以 ；‎ ‎；‎ 所以ξ的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ 所以 .‎ ‎(2)设获得的利润为元,根据计算可得, , ，‎ 代入回归方程得 ,所以 ，‎ 此函数图象为开口向下,以为对称轴的抛物线，‎ 所以当时,取的最大值，即为使店获得最大利润,该产品的单价应定为875元.‎ ‎20.（1）由题意，得直线的方程为，点，‎ 点到直线的距离，整理，得.①‎ 又点（2,3）在椭圆上，所以.②‎ 联立①②解得，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 ‎ ‎ ‎ ‎，，，‎ 又，则由题意得，‎ 整理，得，则 整理，得（满足）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又点到直线的距离 ‎ ‎21.（1），由，解得.‎ ‎（2），，由得：‎ 故在和上单调递减，在上单调递增.‎ ①当时，，‎ ‎，在（0,1）上单调递增，‎ ‎，，即 ②当时，‎ 令，则，‎ 在[1,2)上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，，即 ‎ 综上，对任意，均有.‎ ‎22.（I）因为，所以 由，，得 因为，消去得 ‎ 所以直线和曲线的普通方程分别为和.‎ ‎（II）点的直角坐标为（1,0），点在直线上，设直线的参数方程：（为参数）,‎ ‎，对应的参数为，.‎ ‎，， ‎ ‎ ‎ ‎23.（I）依题意，得，‎ 于是得，或，或，解得. 即不等式的解集为.‎ ‎（II），‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎.原不等式等价于，‎ ‎，，.‎ 又，，.‎