2018-2019学年江西省上饶中学高一（零班、奥赛班）上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶中学高一（零班、奥赛班）上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶中学高一（零班、奥赛班）上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则=‎ A． B． C．A D．B ‎【答案】C ‎【解析】由， 得： ，‎ ‎，则，故选C.‎ ‎2．已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ， ，则，选C.‎ ‎3．下列各组函数是同一函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中的定义域为R， 的定义域为，不是同一函数；‎ B中 两个函数的对应法则不同，不是同一函数；‎ C中 的定义域为R， 的定义域为，不是同一函数；‎ D中 ，定义域、对应法则均相同，是同一函数，选D.‎ ‎4．已知映射，在映射下的原象是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】B试题分析：由，所以在映射下的原象是。‎ ‎【考点】象、原象的概念。‎ 点评：直接考查基本概念，属于基础题型。‎ ‎5．函数的零点所在区间是 A． B．(1,2) C．(2,3) D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在区间(2,3)上存在零点．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．‎ ‎6．已知函数 ，则 的值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,所以= ,选C.‎ 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据f（x）的定义域、二次根式有意义的条件，及分母不能为0，可判断g（x）的定义域.‎ ‎【详解】‎ 已知函数的定义域是，‎ 可得g（x）中的f（2x-1），0≤2x-1≤2，解得≤x≤，‎ 再由 ，解得x>1,‎ 综上，得13时，在上的最小值为,舍去，‎ 当03时，在上的最小值为,因为3，所以，‎ 综上.‎ ‎【点睛】‎ 研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法.‎ ‎21．已知是定义域为的奇函数，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）证明在区间上是增函数；‎ ‎（3）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由是定义域为的奇函数可得，再由，解得，可求函数的解析式；（2）任取，将分解因式，可证明，从而可得结论；（3）根据在区间上是增函数，结合函数的定义域列不等式组求解即可.‎ 试题解析：（1）由题意可得，∴，‎ ‎∴，解得，∴.‎ ‎（2）设，则，‎ ‎∵，∴， ， ，‎ ‎∴，即，∴在上是增函数.‎ ‎（3）由得，即，‎ 由已知及（2）可得，解得，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组..‎ ‎22．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在使得成立。‎ ‎（1）函数是否属于集合M？请说明理由；‎ ‎（2）函数M，求a的取值范围；‎ ‎（3）设函数，证明：函数M。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 ‎【解析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由M得到方程 在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数满足即可得到结论成立．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）．理由如下：‎ 假设，‎ 则在定义域内存在，使得成立，‎ 即，‎ 整理得， ‎ ‎∵方程无实数解，‎ ‎∴假设不成立，‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意得，‎ 在定义域内有解，‎ 即在实数集R内有解， ‎ 当时，，满足题意； ‎ 当时，由，得，‎ 解得且，‎ 综上，‎ ‎∴实数a的取值范围为． ‎ ‎（3）证明：∵，‎ ‎∴，‎ 又函数的图象与函数的图象有交点，‎ 设交点的横坐标为a，则，‎ ‎∴，其中，‎ ‎∴ 存在使得成立，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力．‎