2020届高三数学（理）“大题精练”4

2020届高三数学（理）“大题精练”4

‎2020届高三数学（理）“大题精练”4‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若的最小值是2，求a；‎ ‎（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数图像，若时，求使成立的x的取值集合.‎ ‎18．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若在内有且仅有一个零点，求在区间上的最大值、最小值.‎ ‎20．已知数列中，，，且.‎ ‎（1）判断数列足否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎21．已知钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若点D满足，且，求的周长.‎ ‎22．已知函数 ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”4（答案解析）‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）若的最小值是2，求a；‎ ‎（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数图像，若时，求使成立的x的取值集合.‎ 解：（1）∵‎ ‎∴，∴‎ ‎（2）∵ ‎ 由知，‎ ‎∴‎ 解得， ‎ ‎∴满足的x取值的集合为.‎ ‎18．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ 解：（1）依题意①，‎ 又为偶函数，为奇函数 ‎∴，即② ‎ ‎∴由①②得，‎ ‎∴得证；‎ ‎（2）原不等式可化为 ‎∴当时，成立，其中 ‎∴当时，‎ 当且仅当时取最小值 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若在内有且仅有一个零点，求在区间上的最大值、最小值.‎ 解：（1）‎ 当时，，‎ ‎∴在R上是单调增函数，故无极值.‎ 当，此时，当或时，‎ 时，‎ ‎∴，‎ 当时，，当或，‎ ‎，‎ ‎∴， ‎ 综上，当时，无极值，‎ 当时，，，‎ 当时，，‎ ‎（2）若在内有且只有一个零点 由（1）知，且 即，∴∴‎ 又当时，，‎ ‎，∴，‎ 故在上的最大值为，最小值为.‎ ‎20．已知数列中，，，且.‎ ‎（1）判断数列足否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ 解：（1）是等比数列 依题意知当n为偶数时， ‎ ‎∴，又 ‎∴数列为公比是3的等比数列 ‎（2）当n为奇数时，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎21．已知钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若，且.‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）若点D满足，且，求的周长.‎ 解：（1）∵，∴，又，‎ ‎∴，∴ ‎ 又A为钝角，∴为锐角，‎ ‎∴即 又，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴B为锐角，故，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，∴ ‎ ‎（2）∵，∴，又，由余弦定理知 ‎，∴，∴ ‎ 法一：∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴‎ ‎∴的周长为 ‎ 法二：∵，∴，又，由余弦定理得 ‎，∴①‎ 在中，‎ ‎∴②‎ 联立①②得， ‎ 故的周长为.‎ ‎22．已知函数 ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.‎ 解：（1） ‎ ‎（ⅰ）时，当时，；当时，，‎ 所以f(x)在单调递减，在单调递增； ‎ ‎（ⅱ）时 若，则，所以f(x)在单调递增； ‎ ‚若，则，故当时，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减； ‎ ƒ若，则，故当，， ，；所以f(x)在单调递增，在单调递减；‎ 综上：时，f(x)在单调递减，在单调递增；‎ 时，f(x)在单调递增；‎ 时，f(x)在单调递增，在单调递减；‎ 时，f(x)在单调递增，在单调递减；‎ ‎（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在单调递减，在单调递增，‎ 又，，取b满足，且，‎ 则，所以f(x)有两个零点 ‎ ‎（ⅱ）当a=0,则，所以f(x)只有一个零点 ‎ ‎（ⅲ）当a<0,若,则由（1）知，f(x)在单调递增．又当时，，故f(x)不存在两个零点 ‚，则由（1）知，f(x)在单调递减，在单调递增，又当，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点 综上，a的取值范围为.‎