2018-2019学年安徽省皖西南联盟高二下学期期末联考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年安徽省皖西南联盟高二下学期期末联考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A．5 B． C．6 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 ‎【详解】‎ 由题 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知集合，则下列判断正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合之间的关系，属于基础题.‎ ‎3．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为 ‎，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多12人，则（ ）‎ A．990 B．1320 C．1430 D．1560‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为和，于是得出样本中男生与女生人数之差为，于此可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 依题意可得，解得，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎4．设向量a与向量b垂直，且，，则下列向量与向量共线的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用向量与向量垂直，转化为两向量数量积为零，结合数量积的坐标运算得出的值，并求出向量的坐标，结合共线向量的坐标等价条件可得出选项。‎ ‎【详解】‎ 因为向量与向量垂直，所以，解得，所以，‎ 则向量与向量共线，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量垂直与共线坐标的等价条件，解题时要充分利用这些等价条件列等式求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎6．若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题,单调递增，故 单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.‎ ‎7．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 如图，作出约束条件表示的可行域.‎ 由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；‎ 当直线经过点时，z取得最小值.故，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎8．已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为（ ）‎ A．4 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出的一个最大值为，一个最小值为，于此得出的最小值为函数的半个周期，于此得出答案。‎ ‎【详解】‎ 对任意的，成立.‎ 所以，，所以，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题。‎ ‎9．等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．20 B．10 C．20或-10 D．-20或10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列和项性质列式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为等比数列的前项和为,所以成等比数列，‎ 因为,所以，解得或，‎ 因为，所以，则.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列和项性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎10．设，随机变量X，Y的分布列分别为（ ）‎ 当X的数学期望取得最大值时，Y的数学期望为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出的最小值，并求出相应的，最后利用数学期望公式得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，取得最大值.此时，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数学期望的计算，考查二次函数的最值，解题的关键就是数学期望公式的应用，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点 的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 依题意可得，设，则由，‎ 得，整理得.‎ 由得，‎ 依题意可知，解得，‎ 则双曲线C的虚轴长.‎ ‎12．已知函数.过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点的横坐标为，利用切点与点连线的斜率等于曲线在切点处切线的斜率，利用导数建立有关的方程，得出的值，再由得出两切线的斜率之和为零，于此得出的值，再利用导数求出函数的极大值点。‎ ‎【详解】‎ 设切点坐标为，∵，∴，即，‎ 解得或.∵，∴，即，‎ 则，.当或时，；当 时，.故的极大值点为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．的展开式的第3项为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式定理展开式，令可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 的展开式的第项为，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正切公式展开，代入相应值可计算出 的值。‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎15．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的标准方程为，利用椭圆的面积为以及离心率的值，求出、的值，从而可得出椭圆的标准方程。‎ ‎【详解】‎ 依题意设椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为，‎ 又，解得，.则椭圆C的标准方程为，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解，一般要结合已知条件求出、、的值，再利用椭圆焦点位置得出椭圆的标准方程，考查运算求解能力，属于中等题。‎ ‎16．已知高为H的正三棱锥的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，若二面角的正切值为4，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取线段的中点，点在平面的射影点，利用二面角的定义得出为二面角的平面角，于此得出，并在中，由勾股定理，经过计算可得出与的比值。‎ ‎【详解】‎ 取线段的中点D，设P在底面的射影为M，则，连接，（图略）.‎ 设，易证，，则为二面角的平面角，‎ 从而，则，.‎ 在中，，即，解得，故.‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列，的前n项和分别为，，，且.‎ ‎(1)求数列的前n项和；‎ ‎(2)求的通项公式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；‎ ‎（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法 可求出数列的通项公式。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为， ‎ 所以；‎ ‎（2）因为， ‎ 所以. ‎ 当时.； ‎ 当时，.‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题。‎ ‎18．2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：‎ 评价等级 ‎★‎ ‎★★‎ ‎★★★‎ ‎★★★★‎ ‎★★★★★‎ 分数 ‎0～20‎ ‎21〜40‎ ‎41〜60‎ ‎61～80‎ ‎81〜100‎ 人数 ‎5‎ ‎2‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎75‎ ‎(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率；‎ ‎(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立.‎ ‎(i)若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；‎ ‎(ii)若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X，求X的方差.‎ ‎【答案】（1）（2）(i) (ii)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；‎ ‎（2）(i)记事件恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件的概率；‎ ‎(ii)由题意得出，然后利用二项分布的方差公式可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75，‎ 故评价在四星以上(包括四星)的人数为， ‎ 故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为0.81（或）；‎ ‎（2）(i)记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件A，‎ 则；‎ ‎(ii)由题可知，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）考查频率的计算，第（2）文考查独立重复试验的概率以及二项分布方差的计算，解题前要弄清事件的基本类型以及随机变量所服从的分布列类型，再利用相关公式求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎19．在中，角,,所对的边分别是，，，已知 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，为垂足，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以 ‎ 因为，所以,即.‎ 因为，所以，所以.‎ 则.‎ ‎（2）因为，所以,.‎ 在中，由余弦定理可得 ，即.‎ 由，得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．已知是抛物线上一点，为的焦点．‎ ‎（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．‎ ‎（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是抛物线上一点 ‎ ‎ 根据题意可得：，，‎ ‎，，依次成等比数列 ‎（2）由，消可得 ‎，‎ ‎ ‎ 设的中点 ‎，‎ 线段的垂直平分线的斜率为 故其直线方程为 当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得平面PAE，进而可得证；‎ ‎（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，因为，为线段的中点，‎ 所以.‎ 又，，所以为等边三角形，.‎ 因为，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：设，则，因为，所以，‎ 同理可证，所以平面.‎ 如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 易知为二面角的平面角，所以，从而.‎ 由，得.‎ 又由，，知，.‎ 设平面的法向量为，‎ 由，，得，不妨设，得.‎ 又，，所以.‎ 设与平面所成角为，则.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数的单调性即可；‎ ‎（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增， ，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令 ，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，当时，；当时，，‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，，‎ 则，‎ 当时，，令，‎ 则，所以在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以存在，使得，即，即.‎ 故当时，，此时；‎ 当时，，此时.‎ 即在上单调递增，在上单调递减.‎ 则 ‎ ‎.‎ 令，，则.‎ 所以在上单调递增，所以，.‎ 故成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.‎