数学理卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试（2018

‎2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试 高三数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设向量，，若，则实数等于（ ）‎ A． 2 B．4 C． 6 D．-3‎ ‎3. 为虚数单位，已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若，且，则的值为（ ）‎ A． 2 B． -1 C. 1 D．-2‎ ‎6.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）‎ A． 16种 B．18种 C. 37种 D．48种 ‎7.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“犯罪在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是（ ）‎ A． 甲、乙 B．甲、丙 C.乙、丁 D．甲、丁 ‎8.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为0，则输入的的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，抛物线和圆，直线经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆四点，，则的值为（ ）‎ A． B． C. 1 D．‎ ‎12.已知函数，若方程恰有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若变量满足约束条件，则的最大值为 ．‎ ‎14.在中，分别为角的对边，，若，则 ．‎ ‎15.已知下列命题：‎ ‎①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样方法是系统抽样；‎ ‎②两个变量的线性相关程度越强，则相关系数的值越接近于1；‎ ‎③两个分类变量与的观测值，若越小，则说明“与有关系”的把握程度越大；‎ ‎④随机变量～，则.‎ 其中为真命题的是 ．‎ ‎16.已知为双曲线：的一条渐近线，与圆 ‎（其中）相交于两点，若，则的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足，，数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格（单位：人）.‎ ‎（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？‎ ‎（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；‎ ‎②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19. 如图1，在直角梯形中，，，，，‎ 为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数，其中常数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，若函数有三个不同的零点，求的取值范围；‎ ‎（3）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为，其中为参数，且，在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一点，直线与曲线截得的弦长为，求点的极坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若不等式对任意的实数恒成立，求正实数的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题：‎ CCDAA CBABD AB 二、填空题：‎ ‎13. 2 14. 15. ①④ 16. 三、解答题：‎ ‎ 17． 【解析】（Ⅰ）因为， ，所以为首项是1，公差为2的等差数列，‎ 所以 ‎ 又当时， ，所以，当时， …① …②‎ 由①-②得，即， ‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列，故. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 ①‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎18． 【解析】（Ⅰ）由列联表可知的观测值 ， ‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），‎ 偶尔或不用网络外卖的有（人）.　 ‎ 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为. ‎ ‎②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为， ‎ 将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.‎ 由题意得， ‎ ‎∴； . ‎ ‎19．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）在图1中， 可得， 从而，‎ 故.‎ 又面 面，面 面 ， ， ‎ ‎∴平面. ‎ ‎（Ⅱ）连结OM,则OM∥BC, ∴OA,OM,OD两两垂直，‎ 以O为原点，OA,OM,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系如图所示 ‎ 则， ， ，‎ ‎ ，.‎ 设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得. ‎ 又为面的一个法向量，∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为. ‎ ‎（法二）如图，‎ 取的中点， 的中点，连结.‎ 易知，又， ，又， .‎ 又为的中位线，因， ， ，且都在面内，故，‎ 故即为二面角的平面角. ‎ 在中，易知；‎ 在中，易知， .‎ 在中.‎ 故.∴二面角的余弦值为. ‎ ‎20． ‎ ‎【解析】‎ 圆的方程可化为： ，故圆心，半径，‎ 而，所以点在圆内.又由已知得圆的半径，‎ 由圆与圆内切可得，圆内切于圆，即，‎ 所以， ‎ 故点的轨迹，即曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆.‎ 显然，所以，故曲线的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设，当直线的斜率存在时，设直线，‎ 代入得：， 恒成立.‎ 由根与系数的关系可得，， ‎ 设直线的斜率分别为，则由得，‎ = ‎==0. ‎ ‎∴，将代入得，即故存在满足题意. ‎ 当直线的斜率不存在时，直线为=1，满足，符合题意。 ‎ 综上，在轴上存在一点，使得轴平分. ‎ ‎21． ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由可知，函数的定义域为，‎ 且.‎ 因为，所以.‎ 当或时， ；当时， ，‎ 所以的单调递增区间为和. ‎ ‎（Ⅱ）当时， .所以，当变化时， 的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 取极大值 单调递减 取极小值 单调递增 所以极大值，‎ 极小值. ‎ 又， 所以若函数有三个不同的零点，‎ 则. ‎ ‎（Ⅲ）由题意，当时， ，‎ 则在点处切线的斜率.所以 .‎ 令，‎ 则， .‎ ‎①当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ； ‎ ‎②当时， 在上单调递减，所以当时， .从而有时， ；‎ 所以在上不存在“类对称点”. ‎ ‎③当时， ，所以在上是增函数，故.‎ 所以是一个类对称点的横坐标. ‎ ‎22． ‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据曲线的参数方程，其中为参数，且，‎ 得曲线C的普通方程为： ， ‎ 所以，曲线的极坐标方程为： ， . ‎ ‎（Ⅱ）由题得， ‎ 所以令， ，则解得.‎ 故点的极坐标为. ‎ ‎23．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ），由条件得，‎ 得，（m>0） ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）原不等式等价于，‎ 而， ‎ 所以，则，当且仅当时取得. ‎