数学理卷·2017届福建省厦门一中高三12月月考（2016

数学理卷·2017届福建省厦门一中高三12月月考（2016

福建省厦门第一中学2017届高三12月月考 ‎ 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数满足，则复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.“”是“直线：与：互相垂直”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①②③④其中正确的是（ ）‎ A．①② B．②④ C．①③ D．③④‎ ‎6.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知实数，满足不等式组，若目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.对于给定的任意实数与，直线：与圆：位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C．相切或相离 D．相交或相切 ‎9.公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设函数则使得成立的的取值集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，且，则的值____________．‎ ‎14.已知双曲线（，）的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为____________．‎ ‎15.若函数（，）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为____________．‎ ‎16.已知正数，满足，则的取值范围是____________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本题满分10分）已知直线的参数方程为（为参数，，且），圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程为 ‎（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）当直线与圆相切时，求；‎ ‎（Ⅱ）求圆与圆公共弦所在的直线方程．‎ ‎18.（本题满分12分）设为各项不相等的等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在梯形中，，四边形是矩形，平面平面，，，点在线段上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）当为何值时，平面？证明你的结论．‎ ‎20.（本题满分12分）在中，内角，，的对边分别是，，（），已知，，成等比数列，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求的周长；‎ ‎（Ⅱ）求证：为定值．‎ ‎21.（本题满分12分）已知、、是椭圆：（‎ ‎）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．‎ ‎22.（本题满分12分）已知常数，函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.‎ ‎12．依题，为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，‎ 故选择．‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎16．‎ ‎，当 故，解得，‎ 其中当取得最小，当取得最大．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）直线的普通方程为，其中，‎ 圆的普通方程为，…………2分 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 ‎，…………4分 即，所以或．…………5分 ‎（Ⅱ）因为圆的普通方程为①，‎ 圆的普通方程为②，…………7分 解得（舍去）或，．………6分 ‎（Ⅱ）因为，…………7分 所以 ‎…9分 ‎．…………11分 当且仅当，即时“”成立，即当时，取得最大值．…………12分 ‎19.解：（Ⅰ）在梯形中，，，‎ 四边形是等腰梯形，且，‎ ‎，，又平面平面，交线为，平面．…………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以点为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 设面的法向量为，，即，‎ 取得 又面的一个法向量为，…………6分 ‎，‎ 所以二面角的余弦值为．…………8分 ‎（Ⅲ）当时，平面，‎ 在梯形中，设，连接，则…………9分 ‎，而，，‎ 四边形是平行四边形，‎ 又平面，平面平面．…………12分 ‎20.解：（Ⅰ）由得，由可得，因为，，成等比数列，所以，所以．…………2分 由余弦定理得 ‎，，…………5分 的周长为．…………6分 ‎（Ⅱ）由余弦定理可知：，‎ 又，所以，‎ 又，所以．…………8分 又，于是．…………12分 ‎21.解：（Ⅰ），且过，则．‎ ‎，，即．…………5分 又，设椭圆的方程为．‎ 将点坐标代入得，解得，．‎ 椭圆的方程为．…………5分 ‎（Ⅱ）由条件，当时，显然；…………6分 当时，设：，，消得 由可得，……①…………7分 设，，中点，则，‎ ‎，．…………8分 由，，即，，‎ 化简得……② …………10分 将②代入①得，．…………11分 综上知，所求的取值范围是．…………12分 ‎22.解：（Ⅰ）．（）…………1分 当时，，此时，在区间上单调递增．…………3分 当时，由得（舍去）．‎ 当时，；当时，．‎ 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 综上所述，当时，在区间上单调递增；‎ 当时，在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增．…………5分 ‎（Ⅱ）由（）式知，当时，，‎ 此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有．‎ 又的极值点只可能是和，且由的定义可知，‎ 且，所以，，‎ 解得，此时，由（）式易知，，分别是的极小值点和极大值点…………6分 而 ‎．…………7分 令，．‎ ‎（ⅰ）当即时，，所以，‎ 因此，在区间上单调递减，‎ 从而，故当时，．…………9分 ‎（ⅱ）当即时，‎ ‎，所以，因此，在区间上单调递减，‎ 从而，故当时，．…………11分 综上所述，满足条件的的取值范围为．…………12分