2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲(测)(解析版)
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲单元—测
【满分:100分 时间:90分钟】
(一)选择题(12*5=60分)
1.若曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是( )
A.直线x+2y-2=0
B.以(2,0)为端点的射线
C.圆(x-1)2+y2=1
D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段
解析 将曲线的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故选D。
答案 D
2.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由绝对值几何意义可知,数轴上与4和6距离之和应大于等于2,故所求最小值为2.
3.已知直线的参数方程是,则直线的斜率为
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】根据题意,直线l的参数方程是,其普通方程为,
即,直线l的斜率为;故选:D.
4.【2018年11月浙江省学考】关于x的不等式的解集是
A. B. C.∪ D.[-1,2]
【答案】C
【解析】当时,,解得: 当时,,不成立,
当时,,解得:,综上,不等式的解集是, 故选:C.
5.【山西省太原市2020届高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中,若直线y=x与曲线(是参数,,),有公共点,则下列说法正确的是
A.0
C.= D.=
【答案】B
【解析】将代入y=x得2+tcosθ=tsinθ,即t(sinθ﹣cosθ)=2,所以,
,因为t>0,且t,所以0<<1,因此>.故选:B.
6.【山西省太原市2020届高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(1,1),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为
A.(1,) B.(,) C.(cos1,sin1) D.(11)
【答案】B
【解析】∵在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(1,1),∴ρ==,tanθ=1,∴θ=.
∴点P的极坐标为(,).故选:B.
7.【山西省太原市2020届高三上学期期中】若关于的不等式在(﹣∞,1]上恒成立,则实数的取值范围为
A.[1,+∞) B.(﹣∞,1] C.[3,+∞) D.(﹣∞,3]
【答案】A
【解析】关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤m在(﹣∞,1]上恒成立,即为m≥(|x+1|﹣|x﹣2|)max,
由﹣1≤x≤1时,|x+1|﹣|x﹣2|=x+1+x﹣2=2x﹣1∈[﹣3,1];x<﹣1时,|x+1|﹣|x﹣2|=﹣x﹣1+(x﹣2)=﹣3.则|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为1,可得m≥1,故选:A.
8.若关于的不等式的解集为,则实数( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】则,,若,则,则,解得
(舍)若,不等式恒成立.(舍)若,则,则,则,选.
9.圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则
A. B.4 C.2 D.
【答案】D
【解析】圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,可得:x2+y2=4x,配方为:(x﹣2)2+y2=4.
圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,),化为直角坐标.则|CP|=2.故选:D.
10.【浙江省诸暨市2018届高三5月】已知,则( )
A.的取值范围是 B.的取值范围是
C.的取值范围是 D.的取值范围是
【答案】C
【解析】 , 由①+②得: ,故选:C.
11.在极坐系中,点与圆 的圆心之间的距离为( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】点P化为直角坐标P 即P ,圆即 x2+y2=2x,即 (x-1)2+y2=1,故圆心为(1,0),故点与圆 的圆心之间的距离为 。12.是圆上任意一点,欲使不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆上一点的坐标为,即,
则,即,又,得到,
则,故选B.
(二)填空题(4*5=20分)
13.【天津市蓟州等部分区2020届高三上期末】 已知直线 (为参数)与轴交于点,点是圆上的任一点,则的最大值为__________.
【答案】
【解析】由直线,可得直线的普通方程,令,则,即直线与x轴的交点坐标,又由圆的圆心坐标为,半径,则,所以的最大值为.
14.在极坐标系中,点A在圆上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为___________.
【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ,整理为 ,圆心,点是圆外一点,所以的最小值就是.
15.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C的极坐标方程为,则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.
【答案】
【解析】直线的普通方程为,由得,直角坐标方程为,把代入双曲线方程解得,因此交点.为,其极坐标为.
16.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】依题意,不等式右边须小于等于左边的最小值,|2x-1|+|x+2|=
,从而|2x-1|+|x+2|≥,解不等式a2+a+2≤得a∈.
故填.
(三)、解答题(共6道小题,满分70分)
17.【湖南省湘潭市2020届高三模拟】已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若恰好存在4个不同的整数,使得,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由,得,不等式两边同时平方,得,即,解得或,所以不等式的解集为.
(2)设作出的图象,如图所示,因为,,又恰好存在4个不同的整数,使得,所以即故的取值范围为.
18.【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟】在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程(为参数),若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得曲线.
(1)写出曲线的参数方程;
(2)设点,直线与曲线的两个交点分别为,求的值.
【答案】(1)(为参数);(2)
【解析】(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程为,整理得,∴曲线的参数方程(为参数).
(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数),
将参数方程带入得,整理得.
,.
【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化,及直线的参数方程的应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
19.【2018届福建省厦门市高三年级第一学期期末】 函数.
(1)当时,求证: ;
(2)若的最小值为2,求实数的值.
【答案】(1)证明见解析;(2) 或.
【解析】(1)依题意: ,
当且仅当,即时,等号成立.
(2)①当,即时,
则当时, ,故.
②当,即时,
则当时, ,故.
③当时,即时, 有最小值0,不符合题意,舍去.
20.【四川省成都市第七中学2020届高三模拟】在平面直角坐标系中,曲线的参数标方程为(其中为参数),在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)求直线与曲线的公共点的极坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)消去参数,得曲线的直角坐标方程.将代入,得.所以曲线的极坐标方程为.
(2)将与的极坐标方程联立,消去得.
展开得.
因为,所以.于是方程的解为,即.
代入可得,所以点的极坐标为.
【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化,直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题,考查计算能力.
21.【2020届湖南师大附中高三上学期月考】已知不等式的解集为.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若, , ,求证: .
【答案】(Ⅰ), ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】(Ⅰ)由,得或或,
解得,∴, .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,∴ ,
当且仅当即, 时取等号,∴,即.
22.【河北衡水金卷2020届高三第三次联合质量测评】在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)当时,写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;
(2)已知点,设直线l与曲线C交于A,B两点,试确定的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)当时,直线的参数方程为.
消去参数t得.由曲线C的极坐标方程为,得,
将,及代入得,即;
(2)由直线的参数方程为(为参数,),
可知直线是过点P(–1,1)且倾斜角为的直线,又由(1)知曲线C为椭圆,
所以易知点P(–1,1)在椭圆C内,将代入中,整理得
,
设A,B两点对应的参数分别为,则,
所以,因为,所以,
所以,所以的取值范围为.
【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为,则以下结论在解题中经常用到:(1);(2);(3);(4).
【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,直线的参数方程化一般方程,弦长公式等,属于简单题.