数学(文)卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试(2017-01)

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数学(文)卷·2018届福建省师大附中高二上学期期末考试(2017-01)

福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二(文科班)数学试卷 时间: 120 分钟 满分: 150 分 命题: 黄雪琼 审核: 江泽 试卷说明: 试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷. 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.抛物线 的焦点到准线距离为( )A. 1 B. 2 C. D. 2 .已知 ,则双曲线 : 与 : 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 3. 设等比数列 的公比 ,前 n 项和为 ,则 ( ) A. 2 B. 4 C. D. 4.在平面内,已知双曲线 的焦点为 ,则“ ”是 “点 在双曲线 上”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线的焦点距离 之和的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.下列命题: (1)“若 ,则 ”的否命题; (2)“全等三角形面积相等”的逆命题; (3)“若 ,则关于 的不等式 的解集为 ”的逆否命题; 其中正确命题的个数是( ) A. B. C. D. 7.如图,直线 和圆 ,当 从 开始在平面上绕点 按逆时针方向匀速转动(转 动角度不超过 )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 是时间 的函数,这个函数的图 像大致是( ) A. B. C. D. 8.设 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为() A. B. C. D. 9.已知双曲线 C1: x2 a2- y2 b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到 双曲线 C1 的渐近线的距离为 ,则抛物线 C2 的方程为( ) A.x2= 3 3y B.x2= 3 3y C.x2=8y D.x2=16y 10.已知双曲线 的中心为原点, 是 的焦点,过 F 的直线 与 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 ,则 的方程式为( ) A. B. C. D. 1.已知 为双曲线 的左焦点, 为 上的点,若 的长等于虚轴长的 2 倍,点 在线段 上,则 的周长为( ) A.44 B.45 C.67 D.68 12.如图 F1、F2 是椭圆 C1:x2 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象 限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( ) A.2 B.3 C.3 2 D.66 第Ⅱ卷 共 90 分 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 13.已知命题 p: ,则 是 14.某质点的位移函数是 则当 时, 它的速度是 15.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后, 水面宽 _米. 16.已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直线 与 的 一个交点,若 ,则 = 17.设双曲线 的中心为点 ,若有且只有一对相交于点 、所成的角为 的直线 和 ,使 ,其中 、 和 、 分别是这对直线与双曲线 的交点,则 该双曲线的离心率的取值范围是 18.如右图, 的顶点 , , 的内切圆圆心在直线 上,则顶 点 的轨迹方程是 . 三、解答题:(本大题共 5 小题,共 60 分) 19.(本题满分 10 分) 已知曲线 . (I)求曲线在点 处的切线方程; (II)求斜率为 的曲线的切线方程. 20.(本题满分 12 分) 已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆,命题 双曲线 的 离心率 ,若命题 为真命题, 为假命题,求实数 的取值范围. 21.(本题满分 12 分) 已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根。 (I)求 的通项公式; (II)求数列 的前 项和. 22.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中,经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不 同的交点 和 . (I)求 的取值范围; (II)设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ,是否存在常数 ,使得向量 与 共线?如果存在,求 值;如果不存在,请说明理由. 23.(本题满分 14 分) 已知椭圆 的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2,离心率 e= . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若点 A 为椭圆 C 的右頂点,过点 A 作互相垂直的两条射线,与椭圆 C 分別交于不同 的两点 M,N(M,N 不与左、右顶点重合),试判断直线 MN 是否过定点,若过定点,求 出该定点的坐标; 若不过定点,请说明理由. 福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试 高二(文科班)数学参考答案 一、选择题:1-12:ADCBB BDCCB AD 二、填空题: 13、 052, 2  xxRx 14、 sm /24 15、2 6 16.3 17. 2 3( ,2]3 18. 2 2 =19 16 x y ( 3x  ) . 三、解答题: 19.解:(I)依题意 ,2xy  曲线在点  42,P 处的切线的斜率 42  xyk ,所以所求的切 线方程为 )2(44  xy ,即 044  yx ……3 分 ( Ⅱ ) 当 切 线 的 斜 率 为 1 时 , 设 此 时 的 切 点 为       3 4 3 1 3 00 xxM , , 则 切 线 的 斜 率 12 00   xyk xx ,所以 10 x 或 10 x ,……6 分 当 10 x 时,切点为      3 51, ,此时切线方程为 13 5  xy ,即 0233  yx ,…8 分 当 10 x 时,切点为  11- ,,此时切线方程为 11  xy ,即 02  yx ……10 分 20.解:若 p 真,则有 9 2 0m m   ,即: 0 3m  ; …2 分 若 q 真,则有 0m  ,且 2 2 2 31 1 ( ,2)5 2 b me a      , 即: 5 52 m  ………4 分 若命题 p q 为真命题, p q 为假命题,则 p q、 一真一假. ……5 分 若 p 真、 q 假,则0 3m  ,且 55 2m m 或 ,即: 50 2m  ; …8 分 若 p 假、 q 真,则 3 0m m 或 ,且 5 52 m  ,即: 3 5m  ; … 11 分, ∴所求 m 的取值范围为 50 2m  或3 5m  . …12 分 21.解:(I)方程 2 5 6 0x x   的两根为2,3,由题意得 2 2a  , 4 3a  ,设数列 na 的公差 为 d,,则 4 2 2a a d  ,故 d= 1 2 ,从而 1 3 2a  , 所以 na 的通项公式为: 1 12na n  ……4分 (Ⅱ)设求数列 2 n n a    的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 1 2 2 2 n n n a n   , 则: 2 3 4 1 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2n n n n nS         3 4 5 1 2 1 3 4 5 1 2 2 2 2 2 2 2n n n n nS          ……6分 两式相减得 3 4 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 3 1 1 212 4 2 2 2 2 4 4 2 2n n n n n n nS                         ……10分 所以 1 42 2n n nS    ……12 分 22.解:(Ⅰ)由已知条件,直线l 的方程为 2y kx  ,……1 分 代入椭圆方程得 2 2( 2) 12 x kx   . 整理得 2 21 2 2 1 02 k x kx       ①……3 分 直线l 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k          ,…4 分 解得 2 2k   或 2 2k  .即 k 的取值范围为 2 2 2 2                , ,∞ ∞ .……5 分 (Ⅱ)设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y, , , ,则 1 2 1 2( )OP OQ x x y y     , ,……6 分 由方程①, 1 2 2 4 2 1 2 kx x k     . ②……7 分 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x    . ③ 而 ( 2 0) (01) ( 21)A B AB  ,, ,, , .……9 分 所以OP OQ  与 AB  共线等价于 1 2 1 22( )x x y y    ,……10 分 将②③代入上式,解得 2 2k  .……11 分 由(Ⅰ)知 2 2k   或 2 2k  ,故没有符合题意的常数 k ……12 分 23.解:(1)由题意可知: , 解得: , 故椭圆的标准方程为 ;……3 分 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2) 当直线 MN 的斜率不存在时,MN⊥x 轴, △MNA 为等腰直角三角形, ∴|y1|=|2﹣x1|, 又 ,M,N 不与左、右顶点重合,解得 ,此时,直线 MN 过点 ; ……6 分 当直线的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m, 由方程组 ,得(1+k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(1+k2)(4m2﹣4)>0,整理得 4k2﹣m2+1>0, .……9 分 由已知 AM⊥AN,且椭圆的右顶点 A 为(2,0), ∴ , ,……10 分 即 , 整理得 5m2+16km+12k2=0,解得 m=﹣2k 或 ,均满足△=4k2﹣m2+1>0 成立.…12 分 当 m=﹣2k 时,直线 l 的方程 y=kx﹣2k 过顶点(2,0),与题意矛盾舍去. 当 时,直线 l 的方程 ,过定点 , 故直线过定点,且定点是 .……14 分
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