数学（理）卷·2017届福建省莆田六中高三上学期第二次月考（2016

数学（理）卷·2017届福建省莆田六中高三上学期第二次月考（2016

莆田六中2017届高三12月月考理科数学 ‎ ‎‎2016年12月9日 命题人：莆田六中高三备课组 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知实数满足，其中是虚数单位，则 （ ）‎ A．3 B． ‎2 C．5 D．‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）‎ A． B． C．1 D．4 ‎ ‎4．“”是“关于的方程组无解”的（ ）条件。‎ A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分 D．既不充分也不必要 ‎5.设是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是 （ ）‎ A．存在唯一直线，使得，且 B．存在唯一直线，使得，且 C．存在唯一平面，使得，且 D．存在唯一平面，使得，且 ‎6．在△中，，，，则△的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图像大致为（ ）‎ ‎8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（ ） .‎ ‎ A. 2 B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9. 已知满足，若不等式恒成立，‎ 则实数的取值范围是( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知非零向量的夹角为，且满足，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知点是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. ‎ ‎12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数 称为狄利克雷函数，则关于这个函数有以下四个命题：‎ ‎①； ②函数是偶函数；‎ ‎③存在一个非零实数，使得对任意恒成立；‎ ‎④存在三个点， ，，使得△为等边三角形。‎ 其中真命题的个数是( ) ‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．，则_________________‎ ‎14．已知数列满足对任意的，都有，又，则____________.‎ ‎15．已知关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是___________‎ ‎16.已知等边三角形的边长为，分别为的中点，沿将折成直二面角，则四棱锥的外接球的表面积为_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．已知是数列的前项和，且（）‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎18., 为单位圆上的按逆时针排列的两个动点，且 A B x y O ‎（1）若，，求的值。‎ ‎（2）若在第一象限，求的取值范围。‎ ‎19．(本小题满分10分)‎ 在如图所示的四棱锥中，，，．‎ ‎（1）在棱上确定一点，使得∥平面，保留作图痕迹，并证明你的结论。‎ ‎（2）当平面且点为线段的三等分点（靠近）时，求二面角的余弦值．‎ ‎20．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎(2)动直线过点，与椭圆交于、两点，求面积的最大值。‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若方程有两个相异实根，，且，证明：.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意：智能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22．已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴正半轴重合，圆的极坐标方程为()，直线的参数方程为(为参数)。‎ ‎（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最大值。‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，求的值。‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 设函数，‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。‎ 莆田六中2017届高三12月月考理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5：CDBAC 6-10：DDCAB 11-12：BA 二、填空题 ‎13、3 14、255 15、 16、‎ 三、解答题 ‎（17） (Ⅰ) ∵，∴当n≥2时，，‎ 两式相减得. ………2分 M N M N 又当n=1时，，∴. ………3分 ‎∴ 数列是首项为2，公比为3的等比数列. ………4分 ‎∴ 数列的通项公式为. ………6分 ‎(Ⅱ)由可得，∴ ………8分 ‎∴，………9分 ∴. ………10分 ‎∴. ………12分 ‎18.解：（1）由已知设x轴正半轴为始边，OA为终边的角为，则终边为的角为。…1分 又点所以，………2分 所以…4分 …5分 ‎………6分 ‎（2）………7分 ‎………9分 因为在第一象限，所以可设，所以，‎ ‎………11分所以的取值范围为。………12分 ‎19.解：（1）满足。………1分 证明如下：取SA，SD上的点M，N，使得………2分 连结BM，MN，NC。‎ 在△SAD中，，则MN∥AD，且 又由已知可得BC∥AD，且，所以BC∥MN且BC=MN，即四边形MNCB为平行四边形。…4分 故BM∥CN。又CN平面SCD，BM平面SCD。所以BM∥平面SCD。………6分 证法二：取AS，AD上的点M，N，使得………2分 连结BM，MN，BN。‎ 在△SAD中，，所以MN∥SD………3分 在四边形BCDN中，BC=DN，BC∥DN，所以四边形为平行四边形，则BN∥CD………4分 又MN∥SD，MN∩BN=N，SD∩CD=D，所以平面MNB∥平面SCD，………5分 又BM平面MNB，所以BM∥平面SCD。………6分 ‎（2）∵底面，，∴AB、AD、AS两两垂直．‎ 以为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），7分 则，，，∵E为线段BS的三等分点（靠近B），‎ ‎∴，解得．．．．．．．．．．8分 设平面SCD的一个法向量是，平面CDE的一个法向量是，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，即，取，．．．．．．．．9分 ‎∵，，‎ ‎∴，即，即，取，．．．．．．．10分 设二面角的平面角大小为，由图可知为锐角， ‎ ‎∴．．．．．．11分 ．．．．．．12分 即二面角S-CD-E的余弦值为． ‎ ‎20.解：（1）由椭圆的几何性质可得，，………1分 由得，所以………2分 又，即，………3分 联立解得。………4分 ‎（2）由题可知与轴不重合，故可设的方程为。‎ 联立方程解得………5分 因直线与椭圆由相异交点，所以，解得或………6分 又 ………7分 ‎………8分 ‎………10分（注：写出面积公式就1分）‎ 令，则，………11分 当且仅当即时取等号（此时），所以所求面积的最大值是。………12分 ‎21.解：（1）的定义域为 ……1分 ‎ ……2分 ‎ 当时 所以 在递增 ‎ 当时 所以 在递减 ……3分 ‎ （2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足 且， ……4分 由题意可知 ……5分 又有(1)可知在递减 故 ‎ 所以 ……6分 令 ‎ ‎ ‎ ……8分 令，‎ 则．‎ 当时，，是减函数，所以．……‎ ‎9分 所以当时，，即 ……10分 因为， 在上单调递增，‎ 所以，故． ……11分 综上所述： ……12分 ‎22.解：（1）当时，圆的极坐标方程为，即，……1分 化为直角坐标方程为，即。所以圆心，半径……2分 直线的普通方程为，……3分 与轴交点的坐标为……4分 所以 ……5分 ‎（2）由可得圆的普通方程为 ………6分 直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，‎ 由垂径定理及勾股定理可得：圆心到直线的距离为圆半径的一半。………8分 ‎ ………9分 解得或………10分 ‎23．解：（1）依题意：原不等式可化为 …………1分 当时，，解集为空集； …………2分 当时，，解得； …………3分 当时，，解得。 …………4分 综上所述，所求不等式解集为 …………5分 ‎（2）不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立…………6分 记，则…………7分 当且仅当时取等号，…………9分 即…………10分 注：本题用图像法一样给分。‎