河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
石家庄二中2019-2020学年度高一年级上学期期中考试
数学试卷
一、选择题（每题5分，共计60分）
1.设集合A＝{x|－x2－x＋2＜0}，B＝{x|2x－5＞0}，则集合A与B的关系是( )
A. B⊆A B. B⊇A
C. B∈A D. A∈B
【答案】A
【解析】
集合与集合之间的关系不能用∈符号，选项CD错误；
因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|2x－5＞0}＝{x|x＞}，所以B⊆A，
本题选择A选项.
2.已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将点代入中，求解的值即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.
故选：A.
【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题.
3.函数f(x)＝的定义域是( )
A. (－3,0) B. (－3,0]
C. (－∞，－3)∪(0，＋∞) D. (－∞，－3)∪(－3,0)
【答案】A
【解析】
【分析】
函数f(x)＝的定义域满足 ，由此能求出结果．
【详解】∵f(x)＝，∴要使函数f(x)有意义，需使，即－3
0 成立，
∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，
∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，
∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．
令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立
转化为： 解得：m＜﹣2 或m＞2．
故选B．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．
二、填空题（每题5分，共计20分）
13.若函数的定义域是，则该函数的值域是________.
【答案】
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得：，再结合二次函数的性质求解.
【详解】，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题.
14.已知,则______．
【答案】6
【解析】
【分析】
把看成一个整体,将等式右边表示成的形式,然后把整体换成x,即可得,令x=2,即可得f（2）的值．
【详解】∵,
∴
把整体换成x,可得, ,
∴．
故答案为6
【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题.
15.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
“有个零点”等价于“有个零点”，画出图象，观察图象即可得解.
【详解】函数的图象如下：
由函数有个零点，
可知有个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点的应用，考查数形结合能力，解题关键是正确作出函数的图象，属于常考题.
16.已知函数f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且当x1，x2∈[a，b]时，＞0恒成立，则b－a的最大值为________．
【答案】5
【解析】
【详解】 且 恒成立，在区间上单调第增，
∵函数
当 时，，单调减；
当 单调增；
当时，，单调递增．的最大值为．
故答案为5.．
【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，以及对隐含条件的挖掘，是中档题．
三、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17.已知集合，，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）可以求出，时，，然后进行交集的运算即可；
（2）根据，可讨论是否为空集：当时，；当时，，解出的范围即可．
【详解】（1），时，，
∴
（2）∵，
∴当时，，即，符合题意；
当时，，解得或，
综上，的取值范围为.
【点睛】本题考查交集及其运算，考查分类讨论思想和运算能力，属于常考题.
18.已知函数 f（x）是定义在 R上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2+ax+b 的部分图象如图所示:
（1）求 f（x）的解析式；
（2）在网格上将 f（x）的图象补充完整，并根据 f（x）图象写出不等式 f（x）≥1的解集．
【答案】（1）f（x）＝；（2）（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图像，将代入解二元一次方程即可求得解析式
（2）结合图像，采用数形结合的方法，当f（x）的图像在上方时，即可求得x的取值范围
【详解】（1）由题意知f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣3，即得a＝﹣2，b＝﹣2，
即当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x﹣2．∵f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2+2x﹣2＝f（x），即f（x）＝x2+2x﹣2，x＜0，
即f（x）＝．
（2）对应图象如图：当f（x）＝1时，得x＝3或x＝﹣3，若f（x）≥1，得x≥3或x≤﹣3，
即不等式解集为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式、数形结合法求解不等式，对于高一学生来说，数形结合的思想方法要多加体会，重点培养
19.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
（1）求及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】（1）；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【解析】
分析】
（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资万元，，即可求出答案．
（2）令，则．．利用二次函数的单调性即可得出答案．
【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元．
∴，
依题意得，解得．
故．
（2）令，则．
∴．
当，即万元时，y的最大值为44万元
∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
【点睛】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.已知函数f（x）=ax+bx（其中a，b为常数，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）的图象经过点A（1，6），．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＞b，函数，求函数g（x）在[-1，2]上的值域．
【答案】（Ⅰ）f（x）=2x+4x； （Ⅱ）[，4].
【解析】
【分析】
（Ⅰ）把A、B两点的坐标代入函数的解析式，求出a、b的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）令t=，在[-1，2]上，t∈[，2]，g（x）=h（t）=t2-t+2
，利用二次函数的性质求得函数g（x）在[-1，2]上的值域．
【详解】（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+bx（其中a，b为常数，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1）
的图象经过点A（1，6），．
∴f（1）=a+b=6，且f（-1）=+=，∴a=2，b=4；或a =4，b=2．
故有f（x）=2x+4x．
（Ⅱ）若a＞b，则a=4，b=2，函数=-+2，
令t=，在[-1，2]上，t∈[，2]，g（x）=h（t）=t2-t+2=+∈[，4]，
故函数g（x）在[-1，2]上的值域为[，4]．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题．
21.已知函数.
（1）当时，判断并证明的单调性，解关于x的不等式：；
（2）当时，不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上是增函数，证明见解析，不等式的解集为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先按照定义证明函数的单调性，然后再利用函数的单调性解不等式即可；
（2）令，故在上单调递增，“不等式对任意实数恒成立”转化为“在区间上恒成立”，求出最小值即可．
【详解】（1）当时，任取，且，
则，所以，
因为，所以，即.
故当时，在上增函数；
不等式，即，
因为，所以，
又因为函数的定义域为，
所以不等式的解集为；
（2）令，
在区间上单调递增，
，
，
，即.
【点睛】本题考查函数单调性的证明以及利用单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.
22.已知函数为偶函数，.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数在上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用，建立方程，解方程求得的值即可；
（2）先将函数化为，令（），然后讨论函数的最小值即可.
【详解】（1）∵是偶函数，
∴，
则，
得，
得，得.
（2）由（1）知，
当时，
，
设，∵，
∴，
则，
函数的对称轴为，
∵，
∴，
①若，即时，
函数在上的最小值，
②若，即时，
函数在上的最小值，
综上，函数在上的最小值.
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数最值的求法，考查运算能力和逻辑思维能力，解题关键是熟练运用换元法将指数型函数的最值问题化为二次函数的最值问题从而求解，属于中档题.
