甘肃省甘谷第一中学2020届高三上学期第四次检测考试数学（理）试题

甘肃省甘谷第一中学2020届高三上学期第四次检测考试数学（理）试题

甘谷一中2019～2020学年度高三级第四次检测考试 理科数学 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1． ‎ ‎ A． B． C. D． ‎ ‎2．已知全集为,集合，，则 ‎ A． B． C. D．‎ ‎3．在等差数列中，已知，则该数列前11项和=（ ）‎ A．44 B‎.55 C.143 D176 ‎ ‎4．函数的大致图象是（ ）‎ ‎5.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A.若且，则 B．若且，则 ‎ C．若且，则 D．若且，则 ‎ ‎7 .函数的部分图象如图所示,则的值分别是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：‎ 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；‎ 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；‎ 事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）‎ A． 甲走桃花峪登山线路 B．乙走红门盘道徒步线路 ‎ C．丙走桃花峪登山线路 D．甲走天烛峰登山线路 ‎9．如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，则多面体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10．已知圆与直线，若直线与圆交于两点，为坐标原点），则的值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11．四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( 　)‎ A. B． C． D．‎ ‎12．如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第II卷 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13．若向量和向量垂直，则_______．‎ ‎14．函数的图象在处的切线方程为 .‎ ‎15．已知各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则 .‎ ‎16．已知函数.若方程恰有3个互异的实数根，‎ 则实数的取值集合为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，‎ 已知平面，，，.‎ (1) 求证：；‎ (2) 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知半径长为的圆截轴所得弦长为，圆心在第一象限且到直线的距离为．（1）求这个圆的方程；‎ ‎（2）求经过与圆相切的直线方程．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求边的长．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且. ‎ ‎（1）求数列的通项.‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段,‎ 当轴时，.‎ （1） 求椭圆的标准方程；‎ （2） 若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数，.‎ (1) 求函数的单调区间与极值.‎ (2) 当时，是否存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ 甘谷一中2019～2020学年度高三级第四次检测考试 数学理答案 一、选择题 ‎1—5题 DCAAB 6—10题 BCDCB 11—12题 AA 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) ‎ ‎13. 14. 15. 3＋2 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）如图，连接，因为平面，平面，平面，所以，. ..........................................1分 又，所以四边形为正方形，所以.‎ 因为，所以.又平面，平面，，所以，平面...........................................3分 因为平面，所以.‎ 又平面，平面，，所以平面.因为平面，所以...............................5分 （2） 解法1:在中，，，，所以.‎ 又平面，，所以三棱锥的体积........7分 ‎ 易知，，，‎ 所以................................8分 ‎ 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，‎ 由等体积法可知，则，解得.设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为..............10分 解法2：(2)由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，.‎ 所以，，，，........6分 所以，，...............7分 设平面的法向量为，则，即，‎ 令，，所以为平面的一个法向量，‎ 则....................... 9分 设直线与平面所成的角为，则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.......................10分 ‎18.（1）由题圆心，半径=5截轴弦长为6 ………2分 由到直线的距离为，........4分 所以圆的方程为............................6分 ‎（2）分情况讨论：当直线存在斜率时，设切线方程为：‎ ‎ 由到直线的距离 ……………8分 ‎ 切线方程： ……………10分 ‎ 当直线过点且斜率不存在时，方程也是所求的切线方程.‎ 综上，切线方程为和 ………………………12分 ‎19.（1） ‎ ‎..............................6分 （2） 在中,由正弦定理,得,即,解得…故,‎ 从而在中,由余弦定理,得 ‎； AC= 4 ...............................12分 ‎20.（1）......................1分 两式相减得，‎ 即数列{an}是等比数列．..........................3分 ‎..........5分 ‎(2)‎ ‎ ①................7分 ②...............8分 ‎①﹣②得 ‎..........................................10分 ‎...........................................11分 ‎ .............................................12分 ‎21.解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得，得①......2分 将代入，结合②，得，...................4分 所以③，由①②③得....................5分 故椭圆的标准方程为....................6分 （2） 设点的坐标分别为，.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，由题意得或，‎ 直线的方程为....................7分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立得，消去得，‎ 由，得 ‎...................（8分）‎ 由可得，‎ 得，‎ 整理得 由（1）和（2）得，解得或...................（10分）‎ 当时，直线的方程为，过定点，不合题意；.........（11分）‎ 当时，直线的方程为，过定点，‎ 综上直线过定点，定点坐标为....................（12分）‎ ‎22解：（1）， ........................1分 当时，恒成立，即函数的单调增区间为，无单调减区间，所以不存在极值. ........................2分 当时，令，得,当时，，当时，，‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为，此时函数在处取得极大值，极大值为，无极小值. ........................3分 综上，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间，不存在极值. 当 时，函数的单调增区间为，单调减区间为，极大值为，无极小值.......4分 （2） 当时，假设存在，使得成立，则对，满足. ................................5分 由可得，‎ ‎.‎ 令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，‎ 所以............7分 由（1）可知，①当时，即时，函数在上单调递减，所以的最小值是. ...................................................8分 ‎②当，即时，函数在上单调递增，‎ 所以的最小值是. ......................9分 ‎③当时，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，在上的最小值是.当时，在上的最小值是.............................10分 所以当时，在上的最小值是，故，‎ 解得,所以. ......................11分 当时，函数在上的最小值是，故，‎ 解得，所以.故实数的取值范围是.........12分