数学理卷·2018届内蒙古集宁一中东校区高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届内蒙古集宁一中东校区高三上学期期末考试（2018

集宁一中2017---2018学年第一学期期末考试 高三年级数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置）‎ ‎1.已知全集，集合，则（）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若（是虚数单位），则的共轭复数为（）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 设，则（）.‎ A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 收入（万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ ‎4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）.‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示(单位长度：)，则此几何体的表面积是（）.‎ A．B． ‎ C． D．‎ ‎7.若等比数列的前项和，则（）.‎ A. 4 B. 12 C. 24 D. 36‎ ‎8. 某算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的条件是（）.‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 正项数列中，，则（）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知在三棱锥中，，，，，,且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为（）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的右焦点为F,过F作直线L交双曲线右支于A、B两点，且，若这样的直线L有且只有一条，则双曲线的离心率为（）.‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎12.已知函数函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）.‎ A.B.C.D.‎ 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若实数满足，则的取值范围是.‎ ‎14. 已知向量满足，且，则向量与的夹角为_______.‎ ‎15. 已知椭圆C:,其中左焦点为，P为C上一点，且满足，则椭圆C的方程为 ‎16.设函数f(x)为(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2 016)2f(x＋2 016)－9f(－3)>0的解集为________．‎ 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎17.(本小题满分12分)已知锐角中内角所对边的边长分别为，满足 ‎，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：‎ 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 ‎20人 ‎30人 ‎50人 ‎（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?‎ ‎（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量的分布列及其数学期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角 的余弦值为．‎ ‎20.(本小题满分12分)已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；‎ ‎（2）已知为原点，求证：为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知（m，n为常数），在处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）若有两个不同的零点，求证：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数，），‎ 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若极坐标为的点在曲线上，求曲线与曲线的交点坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，且曲线与曲线交于两点，求 ‎23. (本小题满分分)选修：不等式选讲.‎ 已知，，，且．‎ （I） 求证：；（II）求证：．‎ 高三理数答案 一、BCBBA ABADB CA 二、13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（共70分，要求写出主要的证明、解答过程）‎ 解：(1)因为，由余弦定理知，所以，又因为，则由正弦定理得， （4分）‎ 所以，所以. （6分）‎ ‎(2)‎ 由已知，则， （9分）‎ 因为，由于，所以，‎ ‎.于是. （12分）‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎∴解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是………4分 ‎（Ⅱ）女生志愿者人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 则 ……10分 ‎∴的数学期望为 ‎ ……………12分 ‎19.（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD⊂平面ADM ∴AD⊥BM； ‎ ‎ （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量， ，设平面AME的一个法向量为 ‎ 取y=1，得 所以， ‎ 因为，求得， 所以E为BD的中点 ‎20.(本小题满分12分)（1）将代入，得，‎ 所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为. （4分）‎ ‎（2）设，，，，‎ 设直线方程为，‎ 与抛物线方程联立得到，消去，得：‎ 则由韦达定理得：,,‎ 直线的方程为：，即，‎ 令，得，同理可得：，又，，‎ ‎ （11分）‎ 所以，即为定值. （12分）‎ ‎21. 解：（Ⅰ），由条件可得及在处的切线方程为，得，所以，x∈（0，+∞）。‎ ‎（2）∵，不妨设x1＞x2＞0，∴g（x1）=g（x2）=0，∴，两式相加相减后作商得：，要证，即证明lnx1+lnx2＞2，即证：，需证明成立，令，于是要证明：，构造函数，，故在（1，+∞）上是增函数，∴，∴，故原不等式成立．‎ ‎22.(本小题满分10分）（1）点对应的直角坐标为，‎ 由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为.‎ 而曲线的直角坐标方程为，联立得 解得：故交点坐标分别为. （4分）‎ ‎(2)由判断知：在直线上，将代入方程得：，设点对应的参数分别为，‎ 则，，而，所以. （10分） ‎ ‎23.略