2021高考数学一轮复习课后限时集训57圆锥曲线中的证明与存在性问题文北师大版2

2021高考数学一轮复习课后限时集训57圆锥曲线中的证明与存在性问题文北师大版2

课后限时集训57‎ 圆锥曲线中的证明与存在性问题 建议用时：45分钟 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．‎ ‎(1)证明：k＜－；‎ ‎(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.‎ ‎[证明](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.‎ 两式相减，并由＝k得＋·k＝0.‎ 由题设知＝1，＝m，于是k＝－.‎ 由题设得0＜m＜，故k＜－.‎ ‎(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．‎ 由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.‎ 又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝.‎ 于是||＝＝＝2－.‎ 同理||＝2－.‎ 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.‎ 故2||＝||＋||.‎ ‎2．(2019·福州模拟)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线x＝p与E交于A，B两点，△ABF的面积为8.‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)若M，N是E上的两个动点，|MF|＋|NF|＝8，试问：是否存在定点S，使得|SM|＝|SN|？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)依题意得F.‎ - 3 -‎ 由得y＝±p，‎ 不妨设A(p，p)，B(p，－p)，则|AB|＝2p .‎ 又F到直线AB的距离为，所以S△ABF＝×2p×＝p2.‎ 依题意得，p2＝8，解得p＝4，所以E的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)法一：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)，则x0＝，y0＝.‎ 由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，‎ 因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，所以x0＝2.‎ 当x1≠x2时，y1＋y2≠0，kMN＝＝＝＝，‎ 线段MN的垂直平分线为y－y0＝－(x－2)，‎ 即y＝－(x－6)，‎ 所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)；‎ 当x1＝x2时，线段MN的垂直平分线为x轴，它也过点S(6,0)．‎ 综上，存在定点S(6,0)，使得|SM＝|SN|.‎ 法二：假设存在定点S，使得对E上满足条件的动点M，N恒有|SM|＝|SN|，‎ 由对称性可知，点S必在x轴上，故可设S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，‎ 因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，‎ 由|SM|＝|SN|，得＝，‎ 所以(x1－t)2＋8x1＝(x2－t)2＋8x2，‎ 即[(x1＋x2)＋(8－2t)](x1－x2)＝0，‎ 所以(6－t)(x1－x2)＝0　①，‎ 因为①对满足条件的任意M，N恒成立，所以t＝6.‎ 故存在定点S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.‎ 法三：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为C(x0，y0)．‎ 由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，‎ 因为|MF|＋|NF|＝8，所以x1＋x2＝4，故x0＝2.‎ 当直线MN的斜率存在时，可设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 由得ky2－8y＋8b＝0.‎ Δ＝64－32kb，令Δ>0，得kb<2.‎ - 3 -‎ 由根与系数的关系得y1＋y2＝，所以y0＝＝，‎ 所以线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－2)，即y＝－(x－6)，‎ 所以线段MN的垂直平分线恒过定点S(6,0)．‎ 当直线MN的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，S(6,0)显然符合题意．‎ 综上，存在定点S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.‎ ‎3．(2019·衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与抛物线C：x2＝2py(p>0)分别相交于A，B两点，且OA⊥OB.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)试问：在x轴的正半轴上是否存在一点D，使得△ABD的外心在抛物线C上？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由题意知，联立得x2－2px－8p＝0，‎ 则x1＋x2＝2p，x1x2＝－8p，‎ 从而y1y2＝(x1＋4)(x2＋4)＝x1x2＋4(x1＋x2)＋16.‎ ‎∵OA⊥OB，∴·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋4(x1＋x2)＋16＝0，‎ 即－16p＋8p＋16＝0，解得p＝2，‎ 故抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设线段AB的中点为N(x0，y0)，‎ 由(1)知，x0＝＝2，y0＝x0＋4＝6，‎ 则线段AB的中垂线方程为y－6＝－(x－2)，即y＝－x＋8.‎ 联立得x2＋4x－32＝0，解得x＝－8或x＝4，‎ 从而△ABD的外心P的坐标为(4,4)或(－8,16)．‎ 假设存在点D(m,0)(m>0)，‎ 若点P的坐标为(4,4)，‎ ‎∵|AB|＝＝×＝4，‎ ‎∴|PA|＝＝4，则|DP|＝＝4.‎ ‎∵m>0，∴m＝4＋4.‎ 若点P的坐标为(－8,16)，则|PA|＝＝4，‎ ‎|DP|＝>4，则点P的坐标不可能为(－8,16)．‎ 故在x轴的正半轴上存在一点D(4＋4，0)，使得△ABD的外心在抛物线C上．‎ - 3 -‎