2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎2．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）‎ A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i ‎【答案】D ‎【解析】两边同乘-i，化简即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.‎ ‎【点睛】‎ 的共轭复数为 ‎3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论一定正确的是（）‎ 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数不超过总人数的20%‎ C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前少 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 ‎【答案】A ‎【解析】看图计算即可。‎ ‎【详解】‎ A: 互联网行业从业人员中90后占56%,正确 B、C、D不能确定，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 依据所给图表数据计算即可。‎ ‎4．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5＝a6+a3，则S7＝（）‎ A．2 B．7 C．14 D．28‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算,在利用公式求出 ‎【详解】‎ ‎2+a5＝a6+a3 ，,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差中项，属于简单题。‎ ‎5．已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.‎ ‎【详解】‎ 取双曲线的一个焦点，一条渐近线：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（　　）‎ A．2 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n的值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 初始值n=0，执行程序依次为:否；否；是，循环结束，输出n=6‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.‎ ‎7．若函数为奇函数，则实数的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数为奇函数，求得当时 的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 为奇函数 ‎ 当时， ‎ 又时， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.‎ ‎8．已知，，，则下列结论正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎；；且 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.‎ ‎9．“对任意正整数，不等式都成立”的一个必要不充分条件是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式成立可求得当时，不等式恒成立，由此可依次判定各个选项，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ ‎ ，即 又 ‎ 即时，不等式成立 则是其必要不充分条件；是其充要条件；，均是其充分不必要条件 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查必要不充分条件的判定，关键是能够求解出不等式成立的充要条件，进而根据必要不充分条件的定义求得结果.‎ ‎10．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将阴影部分拆分为两个小弓形，根据长度关系可知弓形所在的扇形圆心角为，从而可求得弓形面积，进而得到阴影部分面积，利用几何概型概率公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 设长方形的长为，宽为，则 阴影部分的面积 所求概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型中的面积型的概率的求解，关键是能够将阴影部分拆分为两个弓形，进而求得阴影部分面积.‎ ‎11．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有个交点，通过数形结合可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 时，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ 若函数有个零点，则与有个交点 由图象可知：当时，与有个交点 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.‎ ‎12．数列{an}中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项，……依此类推，设数列{an}的前n项和为Sn，则满足Sn＞2019的最小正整数n的值为（）‎ A．20 B．21 C．26 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，分析表中数据规律，求出各行的和，据此得,求出第6行的第6个数，计算可得分析可得答案。‎ ‎【详解】‎ 第一行，为4，其和为4，可变形为 ‎ 第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为 ‎ 第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为 ‎ ‎ 依次类推：第n行的和为 则前6行共1+2+3+4+5+6=21个数，‎ 前6项和为：‎ ‎ ‎ 满足Sn＞2019‎ 而第6行的第6个数为 ，‎ 则 故满足Sn＞2019的最小正整数n的值为 21‎ 选B ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用平方运算可构造方程求得，根据射影的公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 解得：‎ 在方向上的射影为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在方向上的射影的求解问题，关键是能够通过模长的平方运算求得数量积的值.‎ ‎14．若满足约束条件，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 作出如图的可行域为三角形内部及边界，由得,‎ 的几何意义为直线在y轴上的截距 平行移动直线,得，当且仅当动直线过点时，直线在y轴的截距最小，取得最小值为z=-(-2)+(-8)=-6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，目标函数的几何意义，考查数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，如图：椭圆的左、右焦点分别为，则 直线的斜率为，则 ‎ 则有 则 ‎ 则 ‎ 则椭圆的离心率 ‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析的值．‎ ‎16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原几何体如下图所示：‎ 设中心为，正方形中心为，外接球球心为 则平面，平面，为中点 四边形为矩形 ‎，‎ 外接球的半径：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.‎ 三、解答题 ‎17．已知，．‎ ‎（1）求的最大值、最小值；‎ ‎（2）为的内角平分线，已知，，，求．‎ ‎【答案】(1) 见解析 (2) ‎ ‎【解析】【详解】‎ 分析：（1）由三角恒等变换的公式化简得，单调函数在在上单增，上单减，即可求解函数的最值；‎ ‎（2）在和，由正弦定理得，再分别在和中，利用余弦定理，即可求解角的大小．‎ 详解：(1)‎ 在上单增，上单减，；‎ ‎（2）中，中，，‎ ‎∵，，，‎ ‎，‎ 中，，‎ 中，，‎ ‎，∴．‎ 点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18．十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 新能源产品年销售（万个）‎ ‎1.6‎ ‎6.2‎ ‎17.7‎ ‎33.1‎ ‎55.6‎ ‎（1）请画出上表中年份代码与年销量的数据对应的散点图，并根据散点图判断：与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.‎ 参考公式：，‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）79.59万个 ‎【解析】（1）以年份代码为轴,以年销量为轴,作散点图，根据散点图，更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程；（2）利用最小二乘法求出关于的回归方程为,再利用回归方程预测2019年某新能源产品的销售量.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以年份代码为轴,以年销量为轴,作散点图，‎ ‎ ‎ 根据散点图，更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程；‎ ‎（2）依题意，‎ ‎ ‎ 所以关于的回归方程为 ‎ 令，，‎ 故预测2019年新能源产品的销售量为79.59万个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查散点图，考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E、F、M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．‎ ‎（1）在图1中，画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（不必说明画法与理由）‎ ‎（2）在图2中，求证：D1B⊥平面DEF．‎ ‎【答案】（1）6（2）见解析 ‎【解析】（1）取A1 B1中点为N,连接N与M，则几何图形为ACMN,再求其面积。‎ ‎（2）建系，利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，‎ 则四边形MNAC为所作图形．‎ 由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，‎ 且MNAC＝2，‎ 过M作MP⊥AC于点P，‎ 可得MC2，PC，‎ 得MP，‎ ‎∴梯形MNAC的面积（24）6．‎ 证明：（2）示例一：在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，‎ 设D1B1交EF于Q，连接DQ，‎ 则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，‎ D1Q4，‎ 由DE＝DF得DQ⊥EF，又EF⊥BB1，‎ ‎∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，‎ ‎，∴∠D1QD＝∠BD1D，‎ ‎∴∠QD1B+∠D1QD＝∠DD1B+∠BD1Q＝90°，‎ ‎∴DQ⊥D1B，∴D1B⊥平面DEF．‎ 示例二：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，‎ 且为D1B1的四等分点，D1Q4，‎ 由BB1⊥平面A1B1C1D1可知BB1⊥EF，‎ 又B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，∴EF⊥平面BB1D1D，∴EF⊥D1B，‎ 由，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，‎ 得∠QDD1＝∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD＝∠QDB+∠QDD1＝90°，‎ ‎∴DQ⊥D1B，又DQ∩EF＝Q，∴D1B⊥平面DEF．‎ ‎；‎ ‎【点睛】‎ 标准几何体内，证明垂直，直接利用向量的数量积等于0,说明两直线垂直。‎ ‎20．已知椭圆E：的离心率为分别是它的左、右焦点，.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）过椭圆E的上顶点A作斜率为的两条直线AB，AC，两直线分别与椭圆交于B，C两点，当时，直线BC是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意，，结合的关系即可求解。‎ ‎（2）设直线,，，联立方程可得，又，结合韦达定理可得，化简计算即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，又，所以，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）因为，所以直线斜率存在 设直线,，‎ 消理得 ‎，（）‎ 又理得 即 所以（）代入得 整理的得，所以直线定点 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理解程度和掌握水平，属中档题。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先求导，对a分类讨论，利用导函数的正负可得f（x）的单调性.‎ ‎（2）将已知进行转化，得到在上有解，分离参数a，构造函数，求导求得值域，可得a的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以.‎ ‎①当时，因为，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，令，解得或.‎ 令，解得，‎ 则在，上单调递增；‎ 在上单调递减.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 在上有零点，等价于关于的方程在上有解，‎ 即在上有解.‎ 因为，所以.‎ 令，则.‎ 令，，解得；令，，解得，‎ 则 上单调递减，在上单调递增，‎ 因为 ，，‎ 所以 ，‎ 则， ，‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎22．‎ 直线 的极坐标方程为 ，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为 （为参数）。‎ ‎（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，写出的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与交的交点分别为，射线与和的交点分别为，求四边形的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)‎ 所以极坐标方程为：‎ ‎(2)将代入直线的极坐标方程得到 ‎，‎ 由与 得 ‎23．已知关于x的不等式|x﹣m|+2x≤0的解集为（﹣∞，﹣2]，其中m＞0．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）若正数a，b，c满足a+b+c＝m，求证：2．‎ ‎【答案】（1）m＝2（2）见解析 ‎【解析】（1）解不等式，得出答案。‎ ‎（2）直接使用均值不等式即可证明之。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）≤0得|x﹣m|+2x≤0，‎ 即或，‎ 化简得：或 由于m＞0，所以不等式组的解集为（﹣∞，﹣m）．‎ 由题设可得﹣m＝﹣2，故m＝2．‎ ‎（2）由（1）可知，a+b+c＝2，‎ 又由均值不等式有：a≥2b，b≥2c，c≥2a，‎ 三式相加可得：c≥2b+2c+2a，‎ 所以a+b+c＝2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解不等式与利用均值不等式证明。‎