数学·江苏省扬州市2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

数学·江苏省扬州市2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．sin240°=　　．‎ ‎2．复数z=i（1﹣i）的虚部为　　．‎ ‎3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为　　．‎ ‎4．不等式的解集为　　．‎ ‎5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为　　．‎ ‎6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为　　．‎ ‎7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=　　．‎ ‎8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=　　．‎ ‎9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为　　．‎ ‎11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=　　．‎ ‎12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题，满分90分）‎ ‎15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．‎ ‎16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．‎ ‎（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；‎ ‎（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．‎ ‎17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．‎ ‎（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；‎ ‎（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．‎ ‎18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．‎ ‎（1）求sin∠ABC的大小；‎ ‎（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．‎ ‎19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．‎ ‎（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；‎ ‎（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）=+x．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；‎ ‎（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分40分）‎ ‎21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．‎ ‎22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：‎ 班别 高一（1）班 高一（2）班 高一（3）班 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ 若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．‎ ‎23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．‎ ‎（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；‎ ‎（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．‎ ‎24．已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．‎ ‎（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；‎ ‎（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．sin240°=　　．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】由诱导公式sin=﹣sinα和特殊角的三角函数值求出即可．‎ ‎【解答】解：根据诱导公式sin=﹣sinα得：‎ sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎2．复数z=i（1﹣i）的虚部为　1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．‎ ‎【解答】解：∵z=i（1﹣i）=i﹣i2=1+i，‎ ‎∴复数z=i（1﹣i）的虚部为：1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎3．抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线方程为　x2=2y　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，可知p的值，即可得出抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，‎ ‎∴﹣=﹣，‎ ‎∴p=1，‎ ‎∴抛物线方程为x2=2y．‎ 故答案为：x2=2y．‎ ‎　‎ ‎4．不等式的解集为　{x|x＜0或x＞1}　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴即，‎ ‎∴等价于x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．‎ 故答案为：{x|x＜0或x＞1}．‎ ‎　‎ ‎5．已知平行直线l1：x﹣2y﹣2=0，l2：2x﹣4y+1=0，则l1与l2之间的距离为　　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】利用平行线间的距离公式计算可得．‎ ‎【解答】解：直线l1：x﹣2y﹣2=0即2x﹣4y﹣4=0‎ ‎∴l1与l2间的距离d==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为　8　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=xz，‎ 由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，‎ 由得到A（4，2），‎ 所以z的最大值为4+2×2=8；‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎7．已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=　﹣2或1　．‎ ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵∥，∴=m（m+1）﹣2=0，‎ 解得m=﹣2或1．‎ 故答案为：﹣2或1．‎ ‎　‎ ‎8．已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．‎ ‎【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，‎ ‎∴tan（α﹣β）===﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　[﹣1，1]　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增 ‎∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，‎ 令cosx=t，t∈[﹣1，1]，‎ 问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，‎ 即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．‎ 故答案为：[﹣1，1]．‎ ‎　‎ ‎10．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为　27　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．‎ 圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为： =4‎ 弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．‎ ‎△ADB面积的最大值为： =27‎ 故答案为：27‎ ‎　‎ ‎11．若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，‎ ‎∴a+b﹣2=1，‎ 那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+）‎ ‎≥5+2=9，‎ 当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号．‎ 联立，‎ 解得：a=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=﹣kx无零点，则实数k的取值范围是　[﹣2，0）　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=﹣kx无零点，求出实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出： y=与y=kx的图象，‎ 如图：函数f（x）=﹣kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点．‎ 由图象可知k∈[﹣2，0）．‎ 故答案为：[﹣2，0）．‎ ‎　‎ ‎13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为　y=±2x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．‎ ‎【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），‎ 则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，‎ ‎∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），‎ ‎=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），‎ ‎∵AF⊥BF，‎ ‎∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，‎ 整理得：c2=x2，‎ ‎∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，‎ ‎∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴9b2+4a2≠0，‎ ‎∴b2﹣4a2=0，‎ 故b=2a，‎ 双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，‎ 故答案为：y=±2x．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　[，+∞）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】依题意，f由（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，可得x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，整理后为二次不等式，利用△≤0即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x（1﹣a|x|）+1==（a＞0），‎ ‎∴f（x+a）=（x+a）（1﹣a|x+a|）+1，‎ ‎∵f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，‎ 在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：‎ ‎∴x（1+ax）+1≥（x+a）[1﹣a（x+a）]+1恒成立，‎ 即x+ax2+1≥﹣a（x2+2ax+a2）+x+a+1，‎ 整理得：2x2+2ax+a2﹣1≥0恒成立，‎ ‎∴△=4a2﹣4×2（a2﹣1）≤0，‎ 解得：a≥．‎ 故答案为：[，+∞）．‎ ‎　‎ 二、解答题（共6小题，满分90分）‎ ‎15．已知函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；‎ ‎（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=2cos（﹣x）sinx+（sinx+cosx）2．‎ 化简得：f（x）=2sinx•sinx+1+2sinxcosx ‎=2sin2x+sin2x+1‎ ‎=2（cos2x）+sin2x+1‎ ‎=sin（2x﹣）+2‎ 由正弦函数的图象及性质．‎ 可得：2x﹣∈[，]是单调增区间，即≤2x﹣≤，k∈Z．‎ 解得：≤x≤，‎ 所以：函数f（x）的单调递增区间是[，]，（k∈Z）‎ ‎ （2）由（1）可得f（x）=sin（2x﹣）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x﹣）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象．‎ ‎∴=sin（）+2=sin+2=3‎ 所以的值为：3．‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．‎ ‎（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；‎ ‎（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；‎ ‎（2）若存在使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min，解得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），…‎ 若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]…‎ 所以A∩B=（2，4]； …‎ ‎（2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，‎ 即存在使得不等式﹣m≥成立，所以﹣m≥（）min …‎ 因为=x+1+﹣1≥1，‎ 当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号 所以﹣m≥1，‎ 解得：m≤﹣1． …‎ ‎　‎ ‎17．已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．‎ ‎（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；‎ ‎（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．‎ ‎【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y﹣5=k（x﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．‎ ‎（2）•=（+）•（+），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，‎ 斜率不存在时，x=4，满足题意；‎ 斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0 ‎ 由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，‎ 综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；‎ ‎（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，‎ ‎∴圆M的半径==．‎ ‎　‎ ‎18．如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．‎ ‎（1）求sin∠ABC的大小；‎ ‎（2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；‎ ‎（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，cos∠ABC==﹣…‎ 所以sin∠ABC=．…‎ ‎（2）在△ABD中，由得：‎ AD=，BD=﹣ …‎ 设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，‎ 则运输总费用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35++﹣） …‎ 令H（θ=，则H′（θ）=．‎ 当0＜θ＜时，H′（θ）＜0，H（θ）单调减；当＜θ＜时，H′（θ）＞0，H（θ）单调增 ‎∴θ=时，H（θ）取最小值，同时y也取得最小值． …‎ 此时BD=，满足0＜＜70，所以点D落在BC之间 所以θ=时，运输总成本最小．‎ 答：θ=时，运输总成本最小． …‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．‎ ‎（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；‎ ‎（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==， =﹣5为定值；‎ ‎（2）由，， =3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=， =，由三角形的面积公式可知：S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），‎ ‎∴直线PF的斜率k=，QF的斜率k'=，‎ ‎∵．‎ ‎∴c=2（x2﹣c），即x2=c …‎ ‎∴k==，k'==，‎ ‎∴k=﹣5k'，即=﹣5为定值． …‎ ‎（2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，‎ ‎=3，解得：A（﹣c，﹣3y1）‎ ‎∵点A、P在椭圆C上，则，‎ 整理得： =8，解得： =，…‎ 则，代入得： =， =，‎ ‎∵△APQ的面积为S△APQ=•3c•4y1=6cy1=，‎ 解得：c2=，‎ ‎∴c2=4，…‎ ‎∴椭圆方程为：． …‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=+x．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；‎ ‎（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．‎ ‎（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；‎ ‎（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，f′（1）=1，f（1）=ae+1‎ ‎∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）‎ ‎∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣ …‎ ‎（2）若a＜0，∵（x≠0），‎ 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；‎ 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；‎ 在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x，‎ ‎∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e ‎∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，‎ 又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴∃x0∈（1，2），使得H（x0）=0 …‎ 且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；‎ ‎∴f（x）在x0处取得极大值 （*）‎ 又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴代入（*）得：‎ ‎，∴不存在负整数a满足条件． …‎ ‎（3）设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x，‎ 因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；‎ 当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．‎ 又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0‎ 再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，‎ 当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；‎ 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）=，f（x）单调递增；‎ 所以函数f（x）在x1处取得极小值． …‎ 当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，‎ 所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，‎ 函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，‎ 故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，‎ 再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，‎ 当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）=，f（x）单调递增；‎ 当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）=，f（x）单调递减；‎ 所以函数f（x）在x2处取得极大值．‎ 综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值．…‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分40分）‎ ‎21．已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值．‎ ‎【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义．‎ ‎【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（λ）=0的一个根，代入即可求得实数a的值．‎ ‎【解答】解：矩阵M的特征多项式为 f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3a，‎ 由矩阵M的一个特征值为4，‎ ‎∴4为方程f（λ）=0的一个根，则2×3﹣3a=0，‎ 解得：a=2，‎ 实数a的值2．‎ ‎　‎ ‎22．某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：‎ 班别 高一（1）班 高一（2）班 高一（3）班 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ 若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】随机变量ξ的取值可能为0，1，2．利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出．‎ ‎【解答】解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．‎ P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．‎ 则 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E（ξ）=+1×+2×=．‎ 答：数学期望为．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．‎ ‎（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；‎ ‎（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．‎ ‎（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．‎ ‎【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…‎ ‎=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），‎ ‎∴cos＜，＞===﹣，‎ ‎∴CE与PD所成角的余弦值为．…‎ ‎（2）点F在棱PC上，且PF=λPC，∴，‎ ‎∴F（λ，λ，﹣2λ），=（λ，λ﹣1，2﹣2λ），‎ 又=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣，1）．‎ 设为平面CDE的法向量，‎ 则，取x=1，得=（1，0，1），…‎ 设直线BF与平面CDE所成的角为θ，‎ 则sinθ=|cos＜，＞|==，…‎ 令t=2﹣λ，则t∈[1，2]，∴sinθ==，‎ 当，即t=∈[1，2]时，有最小值，此时sinθ取得最大值为，‎ 即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即λ的值为． …‎ ‎　‎ ‎24．已知集合A={a1，a2，…，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，则称A1，A2，A3，…，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．‎ ‎（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；‎ ‎（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】（1）设A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3； 设A1∪A2={a1，a2}，得f（2，2）=9；设A1∪A2∪A3={a1，a2}，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）．‎ ‎（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，再利用数学归纳法进行证明．‎ ‎【解答】解：（1）设A1∪A2={a1}，共有3种，即f（2，1）=3； …‎ 设A1∪A2={a1，a2}，若A1=∅，则有1种；若A1={a1}，则有2种；‎ 若A1={a2}，则有2种；若A1={a1，a2}，则有4种；即f（2，2）=9； …‎ 设A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=∅，则A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9种；‎ 若A1={a1}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，‎ 所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，则有12种；‎ 若A1={a1，a2}，则A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=∅，‎ 所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49．…‎ ‎（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用数学归纳法证明．‎ 当n=2时，f（2，2）=9，结论成立．…‎ 假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，‎ 当n=k+1时，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}‎ 当Ak+1=∅时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种；‎ 当Ak+1={a1}时，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，‎ 或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1种，共有2k（2k﹣1）种；‎ 同理当Ak+1={a2}时，共有2k（2k﹣1）种；‎ 当Ak+1={a1，a2}时，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2种，‎ 或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1}，所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪…∪Ak={a2}，‎ 所以有2k﹣1种，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak=∅，所以有1种，共有22k种；‎ 则f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，‎ 所以，当n=k+1时，结论成立．…‎ 所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*．…‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日