2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第9节 课时分层训练53

2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第8章 第9节 课时分层训练53

课时分层训练(五十三)　‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　 B.2‎ C．1或2 D.0‎ A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]‎ ‎2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝(　　)‎ A. B. C. D.0‎ B　[由得A(2,2)，B.‎ 又∵M(－1，m)且·＝0，‎ ‎∴2m2－2m＋1＝0，解得m＝.]‎ ‎3．(2017·南昌模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)．‎ 由题设kOM＝＝.‎ 由得＝－.‎ 又＝－1，＝＝，‎ 所以＝.]‎ ‎4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ D　[由题意知点(2，)在渐近线y＝x上，所以＝，又因为抛物线的准线为x＝－，所以c＝，故a2＋b2＝7，所以a＝2，b＝.故双曲线的方程为－＝1.]‎ ‎5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ A　[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，‎ 所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，‎ 所以E的方程为＋＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．‎ ‎16　[直线l的方程为y＝x＋1，‎ 由得y2－14y＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，‎ ‎∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.]‎ ‎7．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________. ‎ ‎【导学号：01772344】‎ 　[双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，‎ 由方程组消去y，得x2－x＋1＝0有唯一解，‎ 所以Δ＝2－4＝0，＝2，‎ e＝＝＝＝.]‎ ‎8．已知椭圆＋＝1(0b>0)，‎ 由题意得b＝，＝，3分 解得a＝2，c＝1.‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.5分 ‎(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0)．‎ 由8分 得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①‎ 因为直线l与椭圆C相切，‎ 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0，‎ 整理，得96(2k＋1)＝0，解得k＝－.‎ 所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.10分 将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.12分 ‎10．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．‎ ‎[解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由条件可得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程＋x2＝1.5分 ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－.8分 设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，‎ 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|‎ ‎＝＝2，10分 令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，‎ 对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，‎ ‎∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D.1‎ C　[如图所示，设P(x0，y0)(y0>0)，则y＝2px0，‎ 即x0＝.‎ 设M(x′，y′)，由＝2，‎ 得 化简可得 ‎∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．]‎ ‎2．(2017·青岛质检)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．‎ ‎2＋　[如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．‎ 因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，‎ 化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．‎ 故点P的坐标为(2a，－b)，‎ 代入直线方程得－b＝(2a－c)，‎ 化简可得离心率e＝＝2＋.]‎ ‎3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ 图893‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. ‎ ‎【导学号：01772347】‎ ‎[解]　(1)由题设知解得3分 ‎∴椭圆的方程为＋＝1.5分 ‎(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d＝.‎ 由d<1得|m|<.(*)‎ ‎∴|CD|＝2＝2＝.8分 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－mx＋m2－3＝0，‎ 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝.10分 由＝得＝1，‎ 解得m＝±，满足(*)．‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.12分