数学文卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期学业检测（2017

数学文卷·2017届广东省普宁市华侨中学高三上学期学业检测（2017

普宁侨中2017届高三级第一学期 学业检测 试卷·文科数学 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。‎ ‎2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。‎ 第Ⅰ卷 ‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）设复数满足，为虚数单位，则复数的虚部是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知满足约束条件，则的最小值为 ‎（A）1 （B）-1 （C）3 （D）-3‎ ‎（4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的，‎ 则输出的属于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）下列说法中不正确的个数是 ‎①“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．‎ ‎（A）3 （B）2 （C）1 （D）0‎ ‎（7）下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知 ‎ 甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为 甲组数据的中位数，则的值分别为 ‎（A）4，5 （B）5，4‎ ‎（C）4，4 （D）5，5‎ ‎（8）已知，若将它的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知，，，若点是 所在平面内一点，且，当变化时， 的最大值等于 ‎（A）-2 （B）0 （C）2 （D）4‎ ‎（10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 俯视图 侧视图 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎ （11）设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）已知函数 ‎ 若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则 .‎ ‎14.已知向量的夹角为，且，则 .‎ ‎15.设实数满足则的取值范围是 .‎ ‎16. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）求的面积.‎ ‎18.（本题满分12分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；‎ 乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.‎ ‎ （1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；‎ ‎ （2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.‎ ‎19.（本题满分12分）已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若时，分别有 ‎ （1）试求数列的通项公式；‎ ‎ （2）令，求数列的前项和.‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，,平面平面,平面平面,,在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC,截面CDE交SB于点F.‎ ‎ （1）求证：EF//CD;‎ ‎ （2）求三棱锥S-DEF的体积.‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数 ‎ （1）若关于x的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；‎ ‎ （2）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎22.（本题满分12分）已知，函数 ‎ （1）讨论函数的单调性；‎ ‎ （2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求证：‎ ‎ ‎ 学业检测 试卷·文科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D D B A C B A C C 二、13. 14. 15. 16. 134‎ ‎17.解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，‎ 再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．…………………（5分）‎ ‎（Ⅱ） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．‎ 当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．（10分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：…………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4‎ 的比赛中抽取一个容量为5的样本，‎ 则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，‎ 所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，‎ 从中随机抽取2场的基本事件有：‎ ‎（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C），‎ ‎（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），‎ ‎（B2，C），（B3，C）共10个，‎ 记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，‎ 则事件A中包含的基本事件有：‎ ‎（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，‎ ‎∴…………………………………………………………（12分）‎ 答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．‎ ‎19.解：‎ 解得：或（舍去），则..................6分 ‎（2） ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ...............12分 ‎ ‎20. 证明：（1）CD//ABCD//平面SAB 又平面CDEF∩平面SAB=EFCD//EF……………………（6分）‎ ‎（2）CDAD，平面SAD平面ABCD CD平面SAD CDSD，同理ADSD 由（1）知EF//CD EF平面SAD ‎ EC=AC，， ED=AD 在中AD=1，SD= 又 ED=AD=1‎ E为SA中点，的面积为 三棱锥S-DEF的体积……………………（12分）‎ ‎21.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，‎ 显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………6分 ‎（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，‎ ‎①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；‎ ‎②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==‎ 因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．‎ 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………12分 ‎22.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．‎ ‎①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；‎ ‎②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，‎ 当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，‎ 当f（）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（）=ln＞0，解得0＜a＜1，‎ 此时，＜，且f（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，‎ f（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），‎ 令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，‎ ‎∴a的取值范围是（0，1）．………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．‎ 下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，‎ 函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，‎ 于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，‎ 由（1）可知，即．………………12分