高一数学（人教A版）必修4能力提升：3-2-1 三角恒等变换

高一数学（人教A版）必修4能力提升：3-2-1 三角恒等变换

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．函数y＝sin2xcos2x是(　　)‎ A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 ‎[答案]　A ‎[解析]　y＝sin4x，T＝＝.‎ 又f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，它是奇函数．‎ ‎2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝(　　)‎ A．－2　　 　 B．－‎1　‎　 　‎ C．0　　　　 D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1.‎ ‎3.·等于(　　)‎ A．tanα B．tan2α C．1 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　原式＝＝＝＝tan2α.‎ ‎4．已知钝角α满足cosα＝－，则sin等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵α为钝角，∴sin>0.‎ ‎∴sin＝＝＝.‎ ‎5．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　法一：原式左边＝ ‎＝ ‎＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，‎ ‎∴sinα＋cosα＝，故选C.‎ 法二：原式＝ ‎＝ ‎＝－(sinα＋cosα)＝－，‎ ‎∴cosα＋sinα＝，故选C.‎ ‎6．(2012·全国高考山东卷)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D.‎ 另解：由θ∈及sin2θ＝可得 sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，‎ 而当θ∈时sinθ>cosθ，‎ 结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝.答案应选D.‎ 二、填空题 ‎7．已知tan＝，则cosα＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵tan＝±，‎ ‎∴tan2＝.‎ ‎∴＝，解得cosα＝.‎ ‎8．函数f(x)＝2cos2＋sinx的最小正周期是________．‎ ‎[答案]　2π ‎[解析]　化简得f(x)＝1＋sin(x＋)，‎ ‎∴T＝＝2π.‎ ‎9．若sin＝，则tan2x＝________.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x ‎＝＝＝，‎ 解得tan2x＝4.‎ 三、解答题 ‎10．已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α、 β均为锐角，求cos的值．‎ ‎[解析]　∵0<α<，sinα＝，‎ ‎∴cosα＝＝.‎ 又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.‎ 若0<α＋β<，‎ ‎∵>，即sinα>sin(α＋β)，‎ ‎∴α＋β<α不可能．∴<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.‎ ‎∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ‎＝－×＋×＝.‎ 而0<β<，0<<，‎ ‎∴cos＝＝.‎ ‎11．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos(＋)的值．‎ ‎[解析]　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，‎ ‎∵π<θ<2π，∴<＋<.‎ ‎∴cos(＋)<0.‎ 由已知|m＋n|＝，得 ‎|m＋n|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2 ‎＝2 ‎＝－2cos(＋)＝，‎ ‎∴cos(＋)＝－.‎ ‎12．(2013山东潍坊高一期末)已知cos(π－α)＝，‎ α∈(－π，0)．‎ ‎(Ⅰ)求sinα.‎ ‎(Ⅱ)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．‎ ‎[解析]　(Ⅰ)∵cos(π－α)＝－cosα＝，‎ ‎∴cosα＝－，‎ 又∵α∈(－π，0)，‎ ‎∴sinα＝－＝－.‎ ‎(Ⅱ)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)‎ ‎＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)‎ ‎＝＋sinα＋sin·cos ‎＝＋sinα＋sinα ‎＝＋sinα ‎＝＋(－)＝.‎