2018-2019学年内蒙古集宁一中高二下学期期末数学（文)试题 解析版
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内蒙古集宁一中2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合A={x|–1
1}，则A∪B=
A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】
∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】
考查并集的求法，属于基础题.
2．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】
函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
【点睛】
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
3．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于，故推不出；
由能推出。
故“”是“”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】
；
；
。
故。
故选A。
【点睛】
利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
5．函数在的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
6．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】
抛物线的准线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
则有
∴，，，
∴。
故选D。
【点睛】
本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。
7．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则( )
A．-2 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算代入，通过变换得到，通过计算，最后得到答案.
【详解】
函数是奇函数
的最小正周期为
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
，
故答案选C
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，周期，伸缩变换，函数求值，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
8．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将图象上所有的点向左平行移动个单位长度得，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得，再利用诱导公式得出结果.
【详解】
先将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度得
再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得
故选A
【点睛】
本题考查了正弦函数的图像变化和诱导公式，正确的掌握图像的平移变化和伸缩变化是解题的关键.
9．以下判断正确的是 ( )
A．函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件
B．若命题为假命题，则命题与命题均为假命题
C．若，则的逆命题为真命题
D．“”是“函数是偶函数”的充要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
依次判断每个选项的正误，得到答案.
【详解】
A. 函数为上的可导函数，则是为函数极值点的充要条件
时，函数单调递增，没有极值点，但是，错误
B. 若命题为假命题，则命题与命题均为假命题，或者真假，或者假真，错误
C. 若，则的逆命题为：若，则，当时，不成立，错误
D. “”是“函数是偶函数”的充要条件，
时，时偶函数，
为偶函数时，
正确
故答案选D
【点睛】
本题考查了极值点，命题，不等式性质，函数的奇偶性，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
10．已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．
【详解】
由，得，又由．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
11．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.
【详解】
由，可得，
根据余弦定理得，
∵，∴．故应选B．
【点睛】
对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
12．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前2018项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式与求和公式，求得数列的通项公式；再利用裂项法求前n项和。
【详解】
因为数列，所以
因为，，
所以 ，解方程组得
所以数列的通项公式为
所以
则
所以选A
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，裂项法在数列求和中的用法，属于基础题。
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
13．是虚数单位，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】
。
【点睛】
本题考查了复数模的运算，是基础题.
14． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式。
【详解】
，
即，
即，
故的取值范围是。
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
15． 曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
【详解】
，
当时其值为，
故所求的切线方程为，即。
【点睛】
曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
16．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】
抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
评卷人
得分
三、解答题
17．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；
(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
【点睛】
等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
18． 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】
(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
19．某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满 意
不 满 意
男 顾 客
女 顾 客
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
【答案】（1）男顾客;女顾客.（2）有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）分别利用公式计算满意的概率.
（2）计算，再和临界值表作比较得到答案.
【详解】
(1)男顾客的满意概率为;
女顾客的满意概率为.
(2),
有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】
本题考查了概率的计算，独立性检验，是常考题型.
20．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；
(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.
【详解】
（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．已知函数.
（1）求曲线 的斜率为1的切线方程；
（2）当 时，求证.
【答案】（1）和.（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）求导，令导数为1，计算对应切点的横坐标，将切点代入切线方程计算得到答案.
（2）构造函数，计算函数的最值得到证明.
【详解】
（1），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（2）设，，
令得或者，
所以当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；而，
所以，即；同理令，
可求其最小值为，
所以，即，综上可得.
【点睛】
本题考查了切线问题，不等式的证明，将不等式的证明转化为函数的最值是解题的关键.
22．已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求的参数方程和的普通方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值.
【答案】（1）的参数方程为（为参数），的普通方程为;（2）1
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的参数方程的公式可直接写出的参数方程；由曲线的参数方程消去参数可得到的普通方程；
(2先由的参数方程设出点的坐标，由题意知求的最小值即是求点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.
【详解】
解：（1）曲线的参数方程为（为参数），
曲线的普通方程为.
（2）设，
点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，
因为，其中，
当时，的最小值为1，此时.
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.
