2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期入学考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二上学期入学考试数学（理）试题（Word版）

成都外国语学校2018-2019学年度上期入学考试 高二理科数学 命题人：刘丹 审题人：罗德益 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2、本堂考试120分钟，满分150分。‎ ‎3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂。‎ ‎4、考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卡上)‎ ‎1、已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3、中，分别是角所对应的边，，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4、在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5、设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6、已知直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎7、已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎8、正四面体中， 是棱的中点， 是点在底面内的射影，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10、若的解集为，则对于函数应有（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11、如图是一个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎12、已知数列中，，点列在内部，且与的面积比为，若对都存在数列满足，则的值为（ ）‎ A．26 B．28 C.30 D．32‎ 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上）‎ ‎13、等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为 ‎ ‎14、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为____‎ ‎15、若，，，则的最小值是______‎ ‎16、已知直线， 是之间的一定点，并且点到的距离分别为1，2， 是直线上一动点， ， 与直线交于点，则面积的最小值为__________‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题10分）已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式：；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．‎ ‎18、（本小题12分）过点的直线，‎ ‎（1）当在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时，求直线的方程；‎ ‎（2）若与坐标轴交于、两点，原点到的距离为时，求直线的方程以及的面积.‎ ‎19、（本小题12分）已知函数。‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）已知的面积为，且角，，的对边分别为，，，若，，求的值.‎ ‎20、（本小题12分）如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。‎ ‎⑴ 求证：平面平面ACD；‎ ‎⑵ 求二面角的平面角的正切值；‎ ‎⑶ 设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。‎ ‎21、（本小题12分）已知数列是等差数列，其前项和为，且，。数列是 各项均为正数的等比数列，且，．‎ ‎（1）求数列及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，设数列的前项和为，求证：．‎ ‎22、（本小题12分）已知常数，数列的前n项和为Sn，，．‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得 ‎？若存在，试求出p、q的一组值(不论有多少组，只要求出一组即可)；若不 存在，请说明理由．‎ 成都外国语学校2018-2019学年度上期入学考试 高二理科数学答案 命题人：刘丹 审题人：罗德益 ‎1-12：DCBC DABB ADDA 13、 14、 15、2 16、‎ ‎17、解：（1）当m=2时， ，所以原不等式的解集为 ‎（2）‎ 当m=0时，显然不合题意，‎ 当 ‎．‎ ‎18、解：(1) ,和；‎ ‎（2）依题，直线斜率存在，设其为，设方程为，即，‎ 原点到的距离，则，所以直线的方程为；‎ ‎ 的面积 ‎19、解：（1），∴函数的最大值为.‎ ‎（2）由题意，化简得.‎ ‎∵，∴，∴，∴.‎ 由得，又，∴，或，.‎ 在中，根据余弦定理得. ∴.‎ ‎20、解：⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，‎ ‎∴BD⊥平面ABC. AC平面ABC，∴AC⊥BD，‎ 又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD.又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD；‎ ‎ ⑵设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连接AF，‎ ‎ 由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角.‎ ‎ ‎ ‎ ∴二面角的平面角的正切值为2.‎ ‎ （3）过点D作DG//BC，且CB＝DG，连接AG， ∥平面ADG，‎ ‎∴B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离h ‎ .‎ ‎21、解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，，所以，解得，‎ 所以． ‎ 因为，，所以，，‎ 所以，解得（负值舍去），所以． ‎ ‎（2）由（1）可得，则 ①，‎ ‎ ②，‎ ‎①－②可得，‎ 则，所以， ‎ 因为，所以，所以，‎ 又，所以，所以．‎ ‎22、解：(1)∵，∴nan=Sn+an(n－1)，∴(n－1)an－1=Sn－1+a(n－1)(n－2)‎ 相减得nan－(n－1)an－1=an+‎2a(n－1)，即(n－1)an－(n－1)an－1=‎2a(n－1)，其中n≥2‎ ‎∴an－an－1=‎2a为定值 ‎∴是以2为首项‎2a为公差的等差数列，∴an=2+(n－1)‎2a=‎2a(n－1)+2…………4分 方法二：∵，∴Sn－Sn－1=+a(n－1)‎ ‎ ∴ －Sn－1=a(n－1)，其中n≥2‎ ‎∴－=a为定值，∴{}是以2为首项a为公差的等差数列 ‎∴=2+(n－1)a，∴an=+a(n－1)=‎2a(n－1)+2……………………4分 ‎(2)由是单调递增数列，得bn＜bn+1，即3n+(－1)n[‎2a(n－1)+2]＜3n+1+(－1)n+1(2an+2)‎ 即(－1)na＜………………………5分 ‎1°若为正奇数，则－a＜在n为正奇数时恒成立 设f(n)=，则f(n)－f(n+2)=-=－＜0‎ ‎∴f(1)＜f(3)＜f(5)＜……‎ ‎∴－a＜f(1)=5即a＞－5………………………6分 方法二：则f(n)－f(n+1)=－=－‎ 它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f(1)＞f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜…‎ ‎∴－a＜min{f(1)，f(3)}=min{5，}=5即a＞－5…………6分 ‎2°若n为正偶数，则a＜在n为正偶数时恒成立，设g(n)=‎ 则g(n+2)-g(n)= -=＞0，∴g(2)＜g(4)＜g(6)＜…‎ ‎∴‎ 方法二：则g(n+1)－g(n)= -=＞0‎ ‎∴g(1)＜g(2)＜g(3)＜g(4)＜…，∴a＜g(2)=‎ 综合1°2°及a≠0得－5＜a＜且a≠0……………8分 ‎(3)由(1)得，‎ ‎∴可化为 方法一：即p===…………………………10分 令得 ‎(或令得，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组)‎ ‎∴存在满足要求的p，q，且有一组值为…………………12分 方法二：即pq－kp－kq=2019k即(p－k)(q－k)=k(k+2019)=1×(k2+2019k)=k×(k+2019)‎ 令即 ‎(或令即，或交换前两组p，q的值，共能确定四组)‎ ‎∴存在满足要求的p，q，且有一组值为…………………12分